数学活动的特质与有效教学策略

数学活动的特质与有效教学策略来自《课程·教材·教法》2009.8作者：泰州师范高等专科学校邓友祥摘要：数学活动具有内隐性、数学化、层次性、平衡性等特质。有效的数学活动教学要求要重视数学的“再创造”、基于学生已有的知识和经验、加大数学活动的探索性成分、引导学生“数学地思维”和“做数学”。关键词：数学活动；特质；有效教学；数学化；数学活动教学中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1000-0186(2009)08-0038-05随着数学新课程的深入实施，广大的数学教师在课程理念方面已有一定的认识，比较重视改善学生的数学学习方式，重视数学交流、合作学习等数学活动的教学，并积累了较丰富的数学新课程实施经验。但是，当前数学活动教学在很大程度上仍然停留在“为活动而活动”的表层上，数学活动展开不够充分，数学的本质凸显不够，数学教学缺乏创造性和数学性，学生内在的情感和思维没有被真正激活，这极大地影响了主体的主动建构。上述教学现状导致不少学生独立思考的意识不强，数学学习缺乏深层次的思考，数学学习效率和水平普遍不高，到了中学阶段(高中阶段尤为明显)，数学学习显得“后劲”(数学思维)不足。究其原因，不少教师对数学活动特质的理解和把握不够，缺乏对数学活动的形式及其作用的理性认识，不能准确地了解学生的真实思维活动，较多的只是凭自己的经验、直觉，甚至是主观臆断选择教学方法，不知道数学教学应该在何处活动、何时活动、怎样活动、活动应该达到什么目的，因而在实施数学活动教学时无所适从，不能科学地把握教学的进程与节奏。由此看来，对数学活动特质进行科学分析，探究和把握学生的真实思维活动，进而采取有效的数学活动教学策略，对提高数学活动水平和数学教学效率有十分重要的意义。以下，拟对数学活动及其特质做一界定，并探讨有效数学活动的教学策略。一、数学活动的特质关于数学活动，至今还没有一个准确的定义，这里只局限于对数学中积极性的狭义理解，把数学教学的积极性作为可发展的具有一定结构的思维活动来理解，显然，这种狭义的积极性是带有数学特点的。[1](104)至此，我们可以给数学活动下一个描述性定义。所谓数学活动，是指师生之间、学生之间交往互动与共同发展，具有一定结构和数学特点的思维活动。“数学教学是数学活动的教学。”[1](10)。分析数学活动的特质，有助于把握数学活动规律和学生的数学思维活动，采取有针对性的有效教学策略，以提高数学课堂教学的有效性。这里所说的特质是指数学活动本身所特有的性质，通常主要表现为以下几种。(一)内隐性数学活动具有较强的内隐性，这是由于，表面上看数学活动较多的是外在的活动(解题等操作活动)，事实上数学活动更多的却是内在的活动(数学思维活动)，外在的活动必须为内在的活动做准备。这一特质要求，有效的数学活动应该使学生勇于发表自己的意见，善于听取别人的意见，乐于修正自己的意见，从而揭示学生自身内在的数学思维活动。(二)数学化所谓“数学化”，简单地说，就是用数学方法将实际材料组织起来。在数学中，组织本身就是一项数学活动。数学活动如果不涉及数学教材深度(数学学习材料的组织程度)以及一定的时间长度，那是没有意义的。而决定数学活动深度的不是别的，正是数学与现实生活经历联系的密切程度，这些联系又保证了数学学习记忆的持久性。因此，数学教师理应肩负“数学化”的重任，重视数学与外部的联系，尤其重视数学内部的逻辑联系。正如弗赖登塔尔所说的：“数学教学不要教孤立的片断，应该教连贯的材料，这个观念从原则上看是正确的，因为有联系的事物学得快，记得牢。”[2(45-46)(三)层次性数学活动是一个组织经验领域的活动，学生在数学学习过程中，思维进入较高层次时，较低层次的组织方法将变成较高层次的研究题材，较低层次的活动就成为分析的对象，要了解学生真实的数学思维水平，就必须对数学活动的层次进行足够深度的分析。根据AA斯托利亚尔的观点，可以将数学活动(数学思维活动)水平分为三个层次：第一层次称为经验材料的数学组织化(数学描述)，主要借助于观察、试验、归纳、类比、概括等方法积累事实材料；第二层次称为数学材料的逻辑组织化，由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论；第三层次称为数学理论的应用。[1](108上述三个层次，在实际操作时往往需要做进一步的细化。以几何教学为例，按照赫尔(P.H．Van．Hiele)的观点，结合我国学生实际，可以将数学活动(数学思维活动)分为五种水平[1](110-111)：第一层次(最低)水平的特点是把几何图形作为整体来观察，只会按它的形状(尚未加以分析)来区分，不能判断图形的属种(如长方形也是平行四边形)等逻辑关系；第二层次水平，会对认识的形状加以分析，分析的结果是认识到这些形状的性质，在这个水平上能按图形的性质进行分类，但还没有在逻辑上认识图形，只是用试验的方法认识它们，这种思维水平也不能得到几何学的逻辑结构；第三层次水平，完成了对图形性质及图形自身的逻辑整理，把一个或几个性质取作定义图形的性质，其余的性质可用逻辑方法得到，但在此层次上整个演绎法的特殊意义还没有为学生理解；第四层次水平，学生在整体上理解了演绎法的意义，即由局部的理解转到对演绎法以及为建立和发展整个几何理论方法上的理解，在这一水平上实现了理论的有内容的公理化；第五层次水平，舍弃对象的具体性质和其间关系的具体含义，即超出对理论的任何具体解释而发展理论，此时几何理论建立成一种抽象的公理体系。实践调查研究表明，上述第一层次水平，小学一、二年级学生能达到；第二层次水平，小学三至六年级学生能达到；第三层次水平，初中学生能达到；第四层次水平，高中学生可达到；第五层次水平，在中学任何阶段不可能实现。(四)平衡性人的心理现象包括心理过程和个性心理两方面。心理过程，主要是指感觉、知觉、记忆、思维、想象等心理活动，一般称之为认知系统；而个性心理，主要是指倾向、动机、兴趣、信念等，这些是人们活动的基本动力，一般称之为动力系统。所谓数学活动的平衡性就是师生双方认知系统与动力系统的有机结合，是这两个系统整体作用的结果，主要表现为师生之间在数学认知(数学思维)上达成平衡。这里认知上的平衡，是指通过一定的师生双边活动(数学活动)，使得学生已有的知识和能力足以解决所面临的问题(学习目标)，从而在观念(目标认识)方面与教师保持在相同的认知层面上。否则，当学生已有的知识与能力不足以解决所面临的问题时，就会出现目标认识222上的偏差，这就是师生之间认知上的不平衡。数学活动中师生之间在认知上达成平衡往往是相对的、暂时的，是教学过程中矛盾的一种状态。数学教学(数学活动)是师生之间在认知上从不平衡到平衡，再从平衡到不平衡，进而达到更高层次平衡的多次循环往复的过程。二、数学活动的有效教学策略数学教学是数学活动的教学，从这个意义上说，数学教学效率的高低在很大程度上取决于数学活动水平的高低。活动教学的心理学基础是皮亚杰和列昂节夫等人关于活动在人的认识、思维、个性等形成发展中的作用的研究，这为活动教学提供了充分的心理学依据。《全日制义务教育数学课程标准(修订稿)》(即将出版)指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。”由上看来，数学活动教学要想有效促进学生的主体性发展，就应该精心设计有利于主体发展的各种数学活动，采用自主探索与合作交流等数学学习方式，使学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等数学活动过程，让学生真正成为数学活动的主体，使各种不同的活动形式和决定着它们的诸多条件相互促进，从而使学生通过数学活动和其他辅助活动实现自身认识、思维、个性等的形成和发展。实践表明，实现数学活动的有效教学可有如下几点策略。(一)给学生提供可“再创造”的数学活动机会弗赖登塔尔提出：“数学教学的核心是学生的‘再创造’，这就是说，数学学习事实上就是这样的‘再创造’过程，我们在此并非是要机械地去重复历史中的‘原始创造’，而应根据自己的体验并用自己的思维方式重新去创造出有关的数学知识。”[2](111)这是由于数学教材经过了教学法的加工，通常是用演绎的方法把概念、公式、法则等内容互相联合起来的一个统一体，这种形式在一定程度上颠倒了数学的实际发现过程。这就使得学生对知识的理解和抽象概括、逻辑推理等能力的表现处于暂时滞后状态。对此，教师应为学生创设合适的“再创造”情境，使学生经历数学活动(数学思维)的学习，了解数学结论背后的丰富事实，从而对数学概念、法则、公式、定理等数学结论的发生发展有充分的认识。给学生提供可“再创造”的数学活动机会，必须基于尊重学生现有的数学思维发展水平，也就是要承认学生学习能力的限度，要接受学生看待问题的方式方法。这是因为，学生在其现有数学思维发展水平上理解事物，是从他自己看问题的角度来看待事物的，教师只有尊重学生的数学思维，才能使学生有真正的发展，才能使教学有真正的效果。尊重学生现有的数学思维水平，就是要根据学生的数学思维水平层次，给学生留有充足的思考时间和空间，给学生更多的交流讨论、思考的机会。下面是一个尊重学生现有的数学思维发展水平，给学生“再创造”机会的典型例子。一次，某数学教师让学生解决如下问题：是否存在这样的两个无理数x,y,使得xy是有理数?一般情况下，教师引导学生得出如下方法即终止教学：令x＝2、y＝2，若2是有理数，则问题得证；若222222是无理数，令x＝2、Y＝2，则(2)=(2)2＝2是有理数；因此，一定存在两个无理数x，y，使得是有理数。[3]这位经验丰富的教师，并未满足于上述教学结果，而是给学生进行充分交流、讨论的机会，调动学生积极数学思维。结果有一位学生得到如下结果：x＝2，y＝log3(＝2log23)是两个无理数，而xy＝2Log3＝3是有理数。这样的结果不仅给出证明，而且明确指出了是哪两个无理数具有此性质。上述数学活动教学，既圆满解决了问题，也培养了学生的创新意识和创新思维。(二)基于学生已有知识和经验的基础上进行数学活动教学迪恩斯认为，在数学教学中学生应该依靠自己的经验，而不是依靠教师的经验。建构主义也认为，知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有知识和经验主动地加以建构。学生对于教师所讲的必须有一个“理解”或“消化”的过程，所谓“理解”，就是指“被纳入到适当的图式之中”，从而，这在很大程度上就是一个意义赋予的过程，即学习者必须依据自身已有知识和经验(认知结构)对教师所说的作出“解释”，也即必须在新的学习材料与主体已有知识和经验之间建立起实质性的、非任意的联系，从而使其获得确定的意义，这就是一种“创造性的理解”。[4]研究表明，当数学活动和学生的现实生活密切结合时，数学才是活的，富有生命力的，才能激发学生学习和解决数学问题的兴趣，激发学生思考与创造的源泉，促进学生在以后遇到相关问题时自觉地运用有关的数学经验去思考并解决问题。因此，数学活动教学应该基于学生已有的知识和经验，重视数学学习材料的组织，营造真实的数学活动教学情境，鼓励学生做实验性数学作业(数学实验)。例如，教学“统计与概率”时，我们让学生先从实际生活中收集相关数据，再进行数据整理、统计与分析，并从中寻求数学知识与规律。下表是实际数学活动教学中某位学生自我进行脉搏测量的统计结果(样本数据代表)，统计目的是要求学生探究测量一个人的脉搏用多少秒比较适宜”这一问题。时间（秒）3025201512106543次数3730241713128764次数（1分钟）74727268657280849080学生在各自测量统计的基础上，经过思考、交流，得出测量一个人的脉搏用20—30秒比较适宜，这一结果与医疗临床经验基本相符。这样的数学活动教学充分体现了《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中“内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求”这一理念要求。(三)加大数学活动探索性成分的教学数学