大学复变函数课件-解析函数的幂级数表示方法

第四章解析函数的幂级数表示方法第一节级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：111222,,...,,...nnnzaibzaibzaib在这里，nz是复数，,Im,Rennnnbzaz一般简单记为}{nz。按照|}{|nz是有界或无界序列，我们也称}{nz为有界或无界序列。设0z是一个复常数。如果任给0，可以找到一个正数N，使得当nN时||0zzn,那么我们说{}nz收敛或有极限0z，或者说{}nz是收敛序列，并且收敛于0z，记作0limzznn。如果序列{}nz不收敛，则称{}nz发散，或者说它是发散序列。令0zaib，其中a和b是实数。由不等式0||||||||||nnnnnaabbzzaabb及容易看出，0limzznn等价于下列两极限式：,lim,limbbaannnn因此，有下面的注解：注1、序列{}nz收敛（于0z）的必要与充分条件是：序列{}na收敛（于a）以及序列{}nb收敛（于b）。注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}nz收敛于0z，或者说有极限点0z的定义用几何语言可以叙述为：任给0z的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N，使得当nN时，nz在这个邻域内。注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。定义4.1复数项级数就是12......nzzz或记为1nnz，或nz，其中nz是复数。定义其部分和序列为：12...nnzzz如果序列{}n收敛，那么我们说级数nz收敛；如果{}n的极限是，那么说nz的和是，或者说nz收敛于，记作1nnz，如果序列{}n发散，那么我们说级数nz发散。注1、对于一个复数序列{}nz，我们可以作一个复数项级数如下121321()()...()...nnzzzzzzz则序列{}nz的敛散性和此级数的敛散性相同。注2级数nz收敛于的N定义可以叙述为：0,0,,NnN使得当时有1||nkkz，注3如果级数nz收敛，那么1limlim()0,nnnnnz注4令Re,Re,Im,Re,Imnnnnnnazazbzab，我们有11nnnkkkkaib因此，级数nz收敛于的充分与必要条件是：级数na收敛于a以及级数nb收敛于b。注5关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）：级数nz收敛必要与充分条件是：任给0，可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,…时，12|...|nnnpzzz柯西收敛原理（复数序列）：序列{}nz收敛必要与充分条件是：任给0，可以找到一个正整数N，使得当m及nN，||nmzz对于复数项级数nz，我们也引入绝对收敛的概念：定义4.2如果级数12||||...||...nzzz收敛，我们称级数nz绝对收敛。非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛复级数nz收敛的一个充分条件为级数nz收敛注1、级数nz绝对收敛必要与充分条件是：级数na以及nb绝对收敛：事实上，有22111111||||||||||,nnnnkknkkkkkkknkkkkabzabab及注2、若级数nz绝对收敛，则nz一定收敛。例4.1当||1时，21......n绝对收敛；并且有12111...,lim01nnnn我们有，当||1时，211.......1n定理4.1如果复数项级数'nz及nz绝对收敛，并且它们的和分别为',，那么级数'''12111(...)nnnnzzzzzz也绝对收敛，并且它的和为'。2、复变函数项级数和复变函数序列：定义4.3设{()}(1,2,...)nfzn在复平面点集E上有定义，那么：...)(...)()(21zfzfzfn是定义在点集E上的复函数项级数，记为1()nnfz，或()nfz。设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，级数()nfz都收敛于()fz，那么我们说此复函数项级数在E上收敛于()fz，或者此级数在E上有和函数()fz，记作),()(1zfzfnn设),...(),...,(),(21zfzfzfn是E上的复函数列，记作1)}({nnzf或)}({zfn。设函数)(z在E上有定义，如果在E上每一点z，序列)}({zfn都收敛于)(z，那么我们说此复函数序列在E上收敛于)(z，或者此序列在E上有极限函数)(z，记作),()(limzzfnn注1、复变函数项级数)(zfn收敛于()fz的N定义可以叙述为：有时使得当,,0,0NnN.|)()(|1zfzfnkk注2、复变函数序列)}({zfn收敛于)(z的N定义可以叙述为：有时使得当,,0,0NnN.|)()(|zzfn定义4.4如果任给0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数()NN，使得当EzNn,时，有.|)()(|1zfzfnkk或.|)()(|zzfn那么我们说级数)(zfn或序列)}({zfn在E上一致收敛于()fz或)(z。注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：定理4.5柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复函数项级数)(zfn在E上一致收敛必要与充分条件是：任给0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数)(NN，使得当EzNn,，p=1,2,3,…时，有.|)(...)()(|21zfzfzfpnnn柯西一致收敛原理（复函数序列）：复变函数序列)}({zfn在E上一致收敛必要与充分条件是：任给0，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数)(NN，使得当EzNnm,,时，有.|)()(|zfzfmn注2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法(优级数准则)：设,...)2,1)}(({nzfn在复平面点集E上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。设在E上，,...),2,1(|)(|nazfnn那么级数)(zfn在E上绝对收敛且一致收敛。这样的正项级数1nna称为复函数项级数)(zfn的优级数.定理4.6设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设,...)2,1)}(({nzfn在集E上连续，并且级数)(zfn或序列)}({zfn在E上一致收敛于()fz或)(z，那么f(z)或)(z在E上连续。定理4.7设,...)2,1)((nzfn在简单曲线C上连续，并且级数)(zfn或序列)}({zfn在C上一致收敛于()fz或)(z，那么......21naaa,)()(1CnCndzzfdzzf或.)()(CCndzzdzzf注1、在研究复函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。定义4.5设函数,...)2,1)}(({nzfn在复平面C上的区域D内解析。如果级数)(zfn或序列)}({zfn在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于()fz或)(z，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于()fz或)(z。定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数,...)2,1)((nzfn在区域D内解析，并且级数)(zfn或序列)}({zfn在D内闭一致收敛于函数()fz或)(z，那么()fz或)(z在区域D内解析，并且在D内,)()(1)()(nknkzfzf或,...).3,2,1(),(lim)()()(kzfzknnk证明：先证明()fz在D内任一点0z解析，取0z的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理，,0)()(1nCnCdzzfdzzf因为根据莫勒拉定理，可见()fz在U内解析。再由于0z是D内任意一点，因此()fz在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是110)()(nknzzzf，对于Kz一致收敛于10)()(kzzzf。由定理4.7，我们有,)()(21)()(2111010nKknKkdzzzzfidzzzzfi也就是,...)3,2,1(,)()(1)()(kzfzfnknk因此，定理中关于级数的部分证明结束。对于序列，我们也先证明)(z在D内任一点0z解析，取0z的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理，,0)(lim)(lim)(CnnCnzCdzzfdzzfdzzf因为根据莫勒拉定理，可见)(z在U内解析。再由于0z是D内任意一点，因此)(z在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是10)()(knzzzf，对于Kz一致收敛于10)()(kzzz。由定理4.7，我们有dzzzzfidzzzziKknnKk1010)()(lim21)()(21dzzzzfiKknn10)()(21lim也就是,...).3,2,1(),(lim)()()(kzfzknnk因此，定理中关于序列的部分证明结束。第二节幂级数幂级数：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数...)(...)()()(020201000nnnnnzzzzzzzz其中z是复变数，系数n是任何复常数。注1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义；注2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；注3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：定理4.10(阿贝尔定理)如果幂级数00)(nnnzz在)(01zz收敛，那么它在||||010zzzz内绝对收敛且内闭一致收敛.证明：由于幂级数00)(nnnzz在)(01zz收敛，所以有0)(lim01nnnzz，因此存在着有限常数M，使得10|()|nnzzM(0,1,...)n。把级数改写成nnnnzzzzzz001001)(则有001010|()||()|nnnnnzzzzzzzz010,nnzzMMkzz其中已令,010kzzzz由于级数,0knMk收敛，所以此幂级数在满足||||010zzzz的任何点z绝对收敛且内闭一致收敛。推论4.11若幂级数00)(nnnzz在20()zz发散,则它在以0z为心并通过2z的圆周外部发散.注1：与幂级数00)(nnnzz相对应，作实系数幂级数...||...||||||||22100nnnnnxxxx其中x为实数。则有设0||nnnx的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有：(1)、如果R0，那么当Rzz||0时，级数00)(nnnzz绝对收敛，当Rzz||0时，级数00)(nnnzz发散；（2）如果R，那么级数00)(nnnzz在复平面上每