整体思想的解题策略

中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。例1：证明21×43×65…×nn212＜121n证：设M=21×43×65…×nn212，N=32×54×76…×122nn，显然M＜N则MN=(21×43×65…×nn212)(32×54×76…×122nn)=121n∵M2＜MN∴M2＜121n故M＜121n评注：本解法抓住M，N这两个整体，使问题得到解决。本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。例2：设三个方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共实数解，求实数a、b、c之间的关系。解：设三个方程的公共实数根为x0，则ax02+bx0+c=0①bx02+cx0+a=0②cx02+ax0+b=0③①+②+③(a+b+c)(x02+x0+1)=0∵x02+x0+1=(x0+21)+43＞0，∴a+b+c=0评注：本题欲求a、b、c关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c这一整体，使问题的解决豁然开朗。二、整体求解中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。例3：设有四个数,其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求此四个数。解：设此四个数之和为x，则得方程(x－22)+(x－20)+(x－17)+(x－25)=x，解得x=28∴四数依次为8、3、6、11评注：本题解法考虑到四数之和——问题的整体，可使问题中四个数变为只是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。本题若按通常解题习惯，须分别设四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。例4：已知2sinα－cosα=1，求1cossin1cossin的值解：设1cossin1cossin=k，则(1－k)sinα+(1+k)cosα=k－1①又2sinα－cosα=1②解①②得sinα=kk32cosα=kk333(k≠3)由(kk32)2+(kk333)2=1解得k=0或k=2故原式的值为0或2评注：本解法利用1cossin1cossin=k这一整体进行求解，能简捷解决问题。本题若由已知条件2sinα－cosα=1及sin2α+cos2α=1联立解得sinα、cosα的值，再代入求值，计算较为繁琐。例5、三棱锥S-ABC的个侧面互相垂直，它们的面积分别是6m2,4m2,和3m2，求它的体积。解如图，设S-ABC的三侧棱长分别为xm,ym,zm,体积为Z，则由题意得21xy=6,21yz=4,21zx=3∴得(xyz)2=(24)2,则V=61xyz=61×24=4m3注本题没用解方程组的方法，先求x,y,z，而将xyz视为一整体求值，故简捷而巧妙。例6、球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则球内接圆台的侧面积S=2πph分析与证明：如图，需求的SCBACDCD中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网是S=π(r’+r)l①,但r’,r,l均未知，下面寻找它们与已知量h,p的关系。为此作辅助线，将r’,r,l,h,p都集中到有联系的图形之中。（1）作DD’⊥ABDD’=h（2）作EO⊥ADE为AD的中点（垂直于弦的半径平分弦）（3）作EE‘⊥OO’EE‘=2'rr在Rt△DD‘A和Rt△EE‘O中DA⊥OEDD‘⊥EE‘∠ADD‘=∠OEE‘∠ADD‘，∠OEE‘为锐角△DD‘A∽△EE‘OADDDOEEE''即lhprr2'（r+r’）l=2ph②②代入①得S=2πph注按常规解法，必须把r,r’,l分别用p,h表示出来，但这样做相当困难，且几乎是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将（r+r’）l视为一整体来求值，这样问题便巧妙的得到解答。三、整体换元在解题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路。例7：等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若TnSn=132nn求nlimbnan的值。解：∵nnaaa2121，nnbbb2121∴nnba=)(21)(21121121nnbbaa=))(12(21))(12(21121121nnbbnaan=1212nnTS=1)12(3)12(2nn=2624nn，∴nlim32bnan评注：本解法是根据等差数列的性质，m、n、p、q∈N，且m+n=p+q时，则am+an=ap+qq，再将其作为一个整体代入，灵活又简便。例8、：已知f（x）=x5+ax3+bx8，且f（2）=10，求f（2）ABAB中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网解：设g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx注意到g（x）=g（x），即g（x）是奇函数，因此，g（2）=g（2）∴f（2）=g（2）8=g（2）8=[f（2）+8]8=26评注：本题将f(2)看作一个整体，注意到g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx是一个奇函数。使计算过程大大简化。将x5+ax3+bx看作整体而用g（x）代换，过程简捷明了。如用一般思路则会一筹莫展,这是因为，其一，a,b未知,其二，要解5次方程,而5次方程无法解.四、整体变形解题中，将条件等式看成一个整体，根据题目特点进行适当变形，以助解题进行。例9：求函数f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值解：f(x)=3sin(x+20°)+sin[(x+20°)+60°]=3sin(x+20°)+21sin(x+20°)+23cos(x+20°)=27sin(x+20°)+23cos(x+20°)=13sin(x+20°+φ)(其中φ=arctan73)因此f(x)的最大值为13评注：此题若按角形式展开,就没有思路了。本解法抓住x+80°=（x+20°）+60°这一整体，巧妙变形，使得问题得到解决。例10：已知Z是虚数，Z2+2Z是实数，且arg(3－z)=4，求复数Z。解：将Z2+2Z视为一个复数，利用Z2+2Z∈R∴Z2+2Z=Z2+2Z，故(Z－Z)(Z+Z)=2(Z－Z)∵Z是虚数∴Z－Z≠0∴Z+Z=2故可设Z=1+yi(y∈R，且y≠0)∴arg(3－Z)=arg(2－yi)=4，故y=－2，于是Z=1－2i评注：本解法将Z2+2Z将为一个整体，然后利用复数为实数的充要条件是Z=Z，从而得到问题的解决。可以发现，运用整体思维方法，分析复数问题常中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网能得到事半功倍之效。五、整体代入在问题解决过程中，往往涉及到较多的几个变量，但我们不必分别求出各个量的具体值，而是将它们的某些关系作为一个整体，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。例11：三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6cm2，4cm2，3cm2，求此三棱锥的体积。解：设三条棱长分别为x、y、z，则xy=6，xz=4，yz=3∴V=61xyz=61))()((yzxzxy=61346=2cm2评注：本解法着重抓住xy=6，xz=4，yz=3，而不是具体求出x、y、z的值，从而达到简捷解决问题的目的。例12：已知P是椭圆1162522yx上一点，F1，F2是焦点，∠F1PF2=30°，求F1PF2的面积。解：易知a=5,b=4,c=3在F1PF中，由余弦定理可知21FF2=21PF+22PF－2|PF1||PF2|cos30°=(|PF1|+|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos30°由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=10，从而有|PF1||PF2|=16（3－1）因此，S2PFFF=21|PF1||PF2|=8（3－1）例13、解不等式：4x2-10x-2522xx＞0分析本题按一般的解法，移项，使不等式一边为有理项，一边为无理项，然后两边同时平方，去无理项，问题将变得复杂，但将2522xx视为一整体求解，问题便得到简洁、有效的解答。解：令t=2522xx，则原不等式化为2t2-2t-21＞0解之得t＜27（舍）或t＞3即2522xx＞3即2x2-5x-7＞0中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网解之得x＞27或x＜-1例14、解方程组x+y=2xy-z2=1分析两个方程，求三个未知数，似不可求，但由于x+y=2，所以可令x=1+t,y=1-t,并将其视为整体，用均值整体代换便可。解：令x=1+t,y=1-t（t为实数）∴(1-t)(1+t)-z2=1∴t2+z2=0∴t=0且z=0∴原方程组的解为x=1y=1z=0六、整体思维解决问题过程中，需要将要解决问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，整体功能，以便达到解题目的。例15：双曲线过原点，实轴长为2，它的一个焦点F1(4,0)，求双曲线中心的轨迹方程：解：设双曲线另一个焦点为F2，则|OF2|－|OF1|=±2a=±2设双曲线中心为P(x,y)，则另一个焦点F2(2x－4,2y)∴24)2()4-2(22yx，化简得(x－2)2+y2=9或(x－2)2=1评注：题设给定双曲线的一个焦点和一支上的一个特殊点，如果仅用这些条件，按常规方法很难求得中心的轨迹方程。但若整体研究所给双曲线及两焦点与中心的位置关系，再利用原点在双曲线上，则解题思路豁然开朗。例16：椭圆141622yx上有两点P、Q，O是坐标原点，若OP、OQ斜率之积为－41。⑴求证：|OP|2+|OQ|2为定值⑵求PQ的中点M的轨迹方程解：⑴设P、Q两点坐标分别为P(x1、y1)，Q(x2、y2)∵P、Q分别在椭圆上，且KOP·KOQ=－41中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网∴4114161416212122222121xyxyyxyx，故2121222221214164164xxyyxyxy①×②得16y12y22=162－16(x12+x22)－x12x22④③代入④得x12+x22=16①+②得y12+y22=8－(x12+x22)=4∴|OP|2+|OQ|2=x12+y12+x22+y22=20⑵设P、Q中点为M(x，y)，则有x1+x2=2xy1+y2=2y①+②+③x2得4(y12+y22+2y1y2)=32－(x12+x22+2x1x2)∴4(y1+y2)2=32－(x1+x2)2∴4x2+16y2=32，即1