二次函数中的存在性问题(讲义)

二次函数中的存在性问题（讲义）一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：①____________．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．②____________.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．③____________.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．二、精讲精练1.如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点.若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．2.抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．3.如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．（1）若抛物线经过A、B两点，则该抛物线的解析式为______________________；（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．4.已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5.抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛①画图分析②分类讨论③验证取舍二、精讲精练1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；①若△BAP∽△AOB，如图1，可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），代入，可知，②若△BAP∽△BOA，如图2，可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），代入，可知，当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；③若△ABP∽△AOB，如图3，可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），代入，可知，④若△ABP∽△BOA，如图4，可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），代入，可知，2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）可得BQ解析式为y=－x+4.（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.①当∠DCE=30°时，a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.则可证△DCH∽△DEK.则，在矩形DHQK中，DK=HQ，则.在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P坐标为（1－,）②当∠DCE=60°时，a)过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.则可证△DCM∽△DEN.则，在矩形DMQN中，DN=MQ，则.在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P坐标为（1－,）综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8∴在Rt△OAB中，OA=6∴A（6，0）将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，（2）存在：如果△AMN与△ACD相似，则或设M（0m6）1）假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：当时，，即∴∴如图2验证一下：当时，，即∴（舍）2）如果点M在x轴上方的抛物线上：当时，，即∴∴M此时,∴∴△AMN∽△ACD∴M满足要求当时，，即∴m=10（舍）综上M1,M24.解：满足条件坐标为：思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线；(1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP；∵点A、P纵坐标差为2∴点M、N纵坐标差为2；∵点M的纵坐标为0∴点N的纵坐标为2或-2①当点N的纵坐标为2时解：得又∵点A、P横坐标差为2∴点M的坐标为：、②当点N的纵坐标为-2时解：得又∵点A、P横坐标差为2∴点M的坐标为：、(2)当AP为平行四边形边对角线时；设M5（m,0）MN一定过AP的中点（0，-1）则N5（-m，-2）N5在抛物线上∴（负值不符合题意，舍去）∴∴综上所述:符合条件点P的坐标为：5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可由题知：，，，故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况：①如图1，，，令PM=QN，解得：（舍去），；②如图2，，，令PM=QN，解得：（舍去），；③如图3，，，令PM=QN，解得：，（舍去）；④如图4，，，令PM=QN，解得：，（舍去）；综上，m的值为、、、．二次函数中的存在性问题（作业）1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知二次函数的图象过点A(-4，3)，B(4，4)，交x轴于C、D两点．（1）求证：△ACB是直角三角形；（2）若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上．若点P是直线AB上方抛物线上的一动点（不与点A、B重合），设点P的横坐标为m，连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请写出对应的点P的坐标．4.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A(-3，0)，B(1，0)，过顶点C作CH⊥x轴于点H．（1）直接填写：a=，b=，顶点C的坐标为；（2）若点P是x轴上方抛物线上的一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．【参考答案】1．解：（1）由抛物线解析式y=-x2+2x+3可得：A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，再由A、C两点坐标，可得直线AC的解析式为：y=3x+3（2）由题意可得：PQ∥AC且PQ=AC，①如图1，当点Q在点P上方时，过点Q作QE⊥x轴于点E，可证△PEQ≌△AOC∴QE=OC=3故令y=-x2+2x+3=3，解得：x1=0(舍去)，x2=2故Q1(2，3)②如图2，当点Q在点P下方时，同①过点Q作QE⊥x轴于点E，可证△PEQ≌△AOC∴QE=OC=3故令y=-x2+2x+3=-3，解得：，故，综上，Q点的坐标为Q1(2，3)、，2．(1)证明：由抛物线的表达式，可得：C(-2，0)，D，如图1，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则AE=3，EC=2，CF=6，BF=4∵且∠AEC=∠BFC=90°∴△AEC∽△CFB∴∠ACE=∠CBF∴∠ACE+∠BCF=∠CBF+∠BCF=90°∴∠ACB=90°即△ACB是直角三角形（2）由题意得：，在Rt△ACB中，由（1）可知：，故△PHD也是直角边的比为1:2的直角三角形，①如图2，当点P在第二象限抛物线上，即m＜-2时，∴，i）解得：ii）解得：②如图3，当点P在第一象限抛物线上，即m＞时，∴，i）解得：（舍去）ii）解得：综上，，或时满足条件.3.解：由可得，A(-8,),B(2,0).则－8＜m＜2.①当G点在y轴上时，此时，如图1过点A作CD∥y轴，过点P，G分别作x轴的平行线交CD于D、C两点∵∴△PAD≌△AGC∴AD=CG=2，则点P在y=2这条直线上由可求得，.∴P1(，2),P2(，2)②当F点在y轴上时，此时，如图2过点A作AH∥y轴，过点P作x轴的平行线，交AH于H点,交y轴于点E.此时△PAH≌△FPE∴EP=AH=m，即P（m，m）P在抛物线上，将P（m，m）代入抛物线解析式可得由可求得，.又∵-8＜m＜2，∴只取∴P3()综上所述：P1(，2)，P2(，2)，P3().备注：图1对应P24.解：（1）由A（-3，0）、B（1，0）可知，a=-1，b=-2，顶点C的坐标为（-1，4）；抛物线解析式：（2）①若点P在对称轴右侧，如图1.此时∠QCP＞∠ACH,所以只可能是∠QCP=∠HAC，即△PCQ∽△CAH.过点Q作DE∥y轴，分别过点C、点P作x轴的平行线交DE于D点,E点.则△CDQ∽△QEP，又∵∠DQC=∠HCA，∠D=∠AHC=90°，∴△CDQ∽△QEP∽△AHC.∴.设CD=m，则DQ=2m,又∵△AHC∽△CQP，∴.又∵△CDQ∽△QEP，∴则QE=2m，EP=4m.由C（-1，4）可得P（-1+3m，4-4m）代入抛物线解析式可得，解得m1=0（舍去），m2=代入P点坐标可得P()②若点P在对称轴左侧,如图2.此时∠QCP＜∠HAC,所以只可能是∠QCP=∠HCA，即△PCQ∽△ACH.过点P作PF∥y轴，过点Q作x轴的平行线交PF于点F,交CH于点G.则△PFQ∽△QGC∽△AHC∽△PQC.∴.设PF=n，则FQ=QG=2n,GC=4n.由C点坐标可知，P（－1－4n，4－3n），代入抛物线解析式可得，解得n1=0（舍去），n2=代入P点坐标可得P()综上所述，满足条件的点P坐标为()或()．