全国卷历年高考平面向量真题归类分析

1全国卷历年高考平面向量真题归类分析（2015年-2019年共14套）一、代数运算（3题）1.(2015全国2卷13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.解：因为向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，，，则.解：，所以.3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则A.4B.3C.2D.0解：因为所以选B.4.（2019全国1卷7）已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6解：因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||12||2abbabb，所以a与b的夹角为3，故选B．【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cosxxyyababxyxy，注意向量夹角范围为[0,]．求模长则利用公式22aaaa转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下：12,kk，1212ab602a1b2ab22222(2)22cos602ababaabb2212222224441221223ab解题思路及步骤注意事项确定基底一般选择已知模长及夹角大小的两个不共线向量作为基底用基底表示所有相关向量统一用同一个基底表示向量运算解题常用公式22aaaa求模，模长记得开平方2二、几何运算（3题）1.（2018全国1卷6）在△中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.2.（2015全国1卷7）设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.B.C.D.解：选A.由题知3.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）.A.B.C.D.解：方法一：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由，则22PAPBPCPDPAPEEDPEEA，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.（方法二见模块三第8题）ACABAD3431ACABAD3431ACABAD3134ACABAD313411()33ADACCDACBCACACAB1433ABACABC△PABC()PAPBPC232431BCDADADE2PBPCPD222PEED2221132422PEADAD…20PEPE323【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的线性运算，解题时尽量画出符合要求的图形.平面向量基本定理是解决向量问题的出发点，通过线性运算可将平面内相关向量用同一基底表示.题目如果没有选定基底，则如何选取基底是关键，一般是选已知模长及夹角的两个不共线向量为基底，且其它向量便于用该基底表示.三、坐标运算（7题）1.（2016全国2卷3）已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8解：a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.选D.2.（2016全国3卷3）已知向量13BA,22=,31BC,22=,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°解：选A.因为BABC=12×32+32×12=32,BA=BC=1,所以cos∠ABC=BABC3=2BABC,即∠ABC=30°3.（2019全国2卷3）已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，||BC=1，则ABBC=A.-3B.-2C.2D.3解：由(1,3)BCACABt，221(3)1BCt，得3t，则(1,0)BC，(2,3)(1,0)21302ABBC．故选C．4.（2016全国1卷13）(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.解：由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇔(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.答案:-25.（2018全国3卷13）已知向量，，．若，则________．解：由题可得，即，故答案为解题思路及步骤注意事项作图作图尽量符合题目已知条件，例如边长关系，角度大小关系确定基底一般选择已知模长及夹角大小的两个不共线向量作为基底．若基本图形为三角形，常以一组邻边为基底；若基本图形为平行四边形，常以一组邻边或对角线为基底用基底表示根据三角形法则、平行四边形法则把所有相关向量统一用所选的基底表示向量运算解题找两个向量的夹角时，一定要通过平移让两个向量起点重合再确定夹角46.（2019全国3卷13）已知,ab为单位向量，且ab=0，若25cab，则cos,ac___________.解：因为25cab，0ab，所以225acaab2，222||4||455||9caabb，所以||3c，所以cos,ac22133acac．7.（2017全国3卷12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）.A．3B．C.D．2解：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，．因为，所以，．两式相加得2sin()3≤(其中，)，当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.8.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）.A.B.C.D.方法二：如图所示建立直角坐标系，则3,0A，0,1B,0,1C，设yxP,，则yxPA3,，yxPB,1，yxPC,1，ABCD1AB2ADPCBDAPABAD225BDCECEAADxAByC(2,1)||1CD||2BC22125BDBDCECEBDCERtBCD△BD122225255BCDBCCDSECBDBD△C255PCP224(2)(1)5xyP00(,)xyP00252cos5251sin5xy00(,)APxy(0,1)AB(2,0)AD(0,1)(2,0)(2,)APABAD0151cos25x0251sin5y222552551sin1cos2sin55555sin525cos5π2π2kkZABC△PABC()PAPBPC232431EPDCBAO()yx523232232222,23,2222yxyyxyxyxPCPBPA所以，当23,0yx，即23,0P时，取得最小值为，故选B.【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的坐标运算，渗透了数学运算、直观想象素养．对于向量坐标运算，一定要弄清楚坐标运算的本质.由于选取了平面上两个互相垂直的单位向量作为基底（单位正交基底），这大大的降低了解题的难度.因此，遇到平面向量难题时要想到建立直角坐标系，用坐标法．32解题思路及步骤注意事项建立坐标系相关点尽量在坐标轴上或成对称关系，向量坐标零越多越好写出向量坐标根据“、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy，特别地，若A为原点O，则向量坐标即为终点坐标”，写出所有相关向量的坐标坐标运算解题坐标运算是解决相对复杂问题的有效方法