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第一章抛体运动第2节运动的合成与分解第一章抛体运动1．知道什么是合运动，什么是分运动．知道合运动和分运动是同时发生的，并且互不影响．2．知道什么是运动的合成，什么是运动的分解．理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则．(重点＋难点)3．会用作图法和直角三角形知识解有关位移、速度的合成与分解问题．(难点)一、位移和速度的合成与分解1．合运动与分运动小船渡河时，同时参与了______于河岸的运动和______而下的运动，这两个运动叫___运动，实际的运动叫___运动．垂直顺流分合2．位移的合成与分解(1)位移的合成：由___位移求___位移的过程．(2)位移的分解：由___位移求___位移的过程．3．速度的合成与分解：与位移的合成与分解是对应的，都遵循____________定则．二、运动的合成与分解的应用1．运动的合成：已知___运动求___运动．2．运动的分解：已知___运动求___运动．分合合分平行四边形分合合分小船在静水中速度是v，今小船要过河，渡河时小船朝对岸垂直航行，若航行至河中央时，水流速度增大，则渡河时间将怎样变化？提示：不变化．因为沿河方向的速度对垂直方向的运动没有影响．合运动与分运动1．合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定相等，即同时开始，同时进行，同时停止．求运动时间时可选择便于分析的一个分运动来求．(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自独立进行，不受其他分运动的影响．(3)等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即等效性．也就是说，合运动的位移x合、速度v合、加速度a合分别等于对应各分运动的位移x分、速度v分、加速度a分的矢量和．(4)同体性：各分运动与合运动都是同一物体参与的运动．(1)只有同一物体的两个分运动才能合成．(2)只有同时进行的两个分运动才能合成．(3)物体实际运动的方向就是合速度的方向．2．运动合成与分解的原则与方法(1)等效性原则．(2)解题方便的原则关于运动的分解，有正交分解和任意分解等不同的分解方式，无论哪一种分解方式，只要分运动被确定，然后分别作出加速度、速度、位移的平行四边形，剩下的问题就是利用数学知识解三角形，获得问题的解．3．(1)合运动性质的判断看合运动的加速度①等于零时：物体做匀速直线运动.②恒定不变时：物体做匀变速运动.③不断变化时：物体做非匀变速运动.(2)合运动轨迹的判断看合运动的加速度与速度的方向关系，如下：两种情况①共线时，物体做直线运动.②不共线时，物体做曲线运动.(3)互成角度的两个直线运动的合成：分运动合运动两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动沿合加速度方向的匀加速直线运动分运动合运动两个初速度不为零的匀加速直线运动(其初速度v1和v2的矢量和为v，加速度a1和a2的矢量和为a)v和a在同一条直线上时物体做匀变速直线运动v和a不在同一条直线上时物体做匀变速曲线运动(1)加速度恒定的运动一定是匀变速运动，但不一定是匀变速直线运动．(2)两个直线运动的合运动不一定是直线运动．(多选)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙所示．在猴子沿杆运动的同时，人举着杆沿水平地面运动，其x－t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是()A．猴子的运动轨迹为直线B．猴子在2s内做匀变速曲线运动C．t＝0时猴子的速度大小为8m/sD．t＝2s时猴子的加速度大小为4m/s2[解析]猴子在竖直方向的运动为初速度vy＝8m/s、加速度a＝－4m/s2的匀减速直线运动，在水平方向的运动为速度vx＝－4m/s的匀速直线运动，其初速度大小为v＝82＋42m/s＝45m/s，方向与合外力方向不在同一条直线上，故猴子做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A、C错误；t＝2s时，ay＝－4m/s2，ax＝0，则合加速度大小为4m/s2，选项D正确．[答案]BD判断合运动是直线运动，还是曲线运动，关键是看合速度与合加速度是否在一条直线上，而判断合运动是否为匀变速运动，关键是看物体的合加速度或合外力是否恒定不变．小船渡河问题分析设河的宽度为d，船在静水中的速度为v船，水流的速度为v水，下面从两个角度分析船渡河问题．1．渡河时间t(1)渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度的大小．(2)若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，由图可知，此时t短＝dv船，船渡河的位移x＝dsinθ，位移方向满足tanθ＝v船v水．2．渡河位移最短问题求解渡河位移最短问题，分为两种情况：(1)若v水v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝dv船sinθ，船头与上游夹角满足v船cosθ＝v水，如图甲所示．甲乙(2)若v水v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：如图乙所示，按水流速度和船在静水中的速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cosθ＝v船v水，最短位移x短＝dcosθ，过河时间t＝dv船sinθ．(1)求渡河的最短位移时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为渡河的最短位移一定等于河岸的宽度．(2)渡河时间与水流速度大小无关，仅与河宽以及船沿垂直河岸方向上的速度大小有关，而当船头与河岸垂直时渡河时间最短．已知某船在静水中的速度为v1＝4m/s，现让该船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100m，水流速度为v2＝3m/s，方向与河岸平行，则(1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？(2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v´2＝5m/s，船在静水中的速度为v1＝4m/s不变，船能否垂直河岸渡河？[解题探究](1)什么情况下船以最短时间渡河？(2)什么情况下船以最短位移渡河？[解析](1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸向对岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为t＝dv1＝1004s＝25s．如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为l＝d2＋x2，由题意可得x＝v2t＝3×25m＝75m，代入得l＝125m．(2)分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝4m/s，大于水流速度v2＝3m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸．如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cosθ＝v2，cosθ＝v2v1＝34，θ＝arccos34，故船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为arccos34，所用的时间为t´＝dv1sinθ＝1004×74s＝10077s．(3)当水流速度v2＝5m/s大于船在静水中的速度v1＝4m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河．[答案]见解析1．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()A．kvk2－1B．v1－k2C．kv1－k2D．vk2－1解析：选B．设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝dv0，回程渡河所用时间t2＝dv20－v2．由题知t1t2＝k，联立以上各式得v0＝v1－k2．选项B正确，选项A、C、D错误．“关联”速度问题如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升．若小车以v1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，绳对物体的拉力为FT，则下列关系式正确的是()A．v2＝v1B．v2＝v1cosθC．FT＝mgD．FTmg[解题探究](1)小车向左运动产生的效果：一是滑轮左侧的绳子变______；二是绳子绕滑轮发生了______．v1如何分解？(2)由于绳长不变，v2大小应等于v1的哪个分量？[解析]如图所示，将小车的速度v1向垂直轻绳和沿轻绳方向分解，则沿轻绳方向分解的速度v′＝v1cosθ，故物体的速度v2＝v1cosθ，A、B错；由于角θ逐渐减小，cosθ变大，故v2逐渐变大，物体加速向上，处于超重状态，FTmg，C错，D对．[答案]D1．“关联”速度在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度．如图所示．2．规律(1)物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果确定．(2)沿绳(或杆)方向的分速度大小相等．3．速度分解的方法(求解方法)为了解题方便，通常将物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等列方程求解．2．如图所示，人在岸上以恒定速度v拉船，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为()A．vcosθB．vcosθC．vD．vsinθ解析：选B．船的速度产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v＝v船cosθ，故v船＝vcosθ，所以选项B正确．