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第一章机械振动第2节单摆第一章机械振动1.理解什么是单摆及在什么情况下单摆的振动是简谐运动．(重点)2.知道单摆的周期跟哪些因素有关，了解单摆周期公式，并能进行有关计算．3.单摆的回复力及单摆简谐运动的推导．(重点＋难点)一、单摆的简谐运动1．单摆模型：细线的上端固定，下端系一小球，若忽略悬挂小球的细线长度的__________和______，且线长比球的直径大得多，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的______可以忽略，这样的装置就叫做单摆．2．单摆的回复力：单摆的回复力是摆球的重力沿__________方向的分力，在摆角很小的情况下，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成______，方向总指向__________，因此单摆在摆角很小时做__________．微小变化质量阻力圆弧切线正比平衡位置简谐运动二、单摆做简谐运动的周期1．影响单摆周期的因素：实验表明，单摆振动的周期与摆球______无关，在振幅较小时与______无关，但与摆长有关，摆长越____，周期越长．2．单摆的周期公式：周期T跟摆长l的二次方根成______，跟重力加速度g的二次方根成______，周期公式为T＝_______．质量振幅长正比反比2πlg1．为了能够忽略空气阻力，选择摆球时应选择什么样的球？提示：选质量大体积小的球，这样就可以忽略空气阻力．2．为什么摆角很小时，单摆的振动可以看做简谐运动？提示：摆角很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看做沿这条直线作用，这样就可以证明F＝－kx.对单摆模型的理解1．运动特点(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都有向心力．(2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都有回复力．2．摆球的回复力(1)平衡位置：小球静止时所在的位置．(2)小球的受力情况：小球受重力和绳的拉力(如图)．(3)单摆的简谐运动：在θ很小时(理论值为5°)，sinθ≈xl，G1＝Gsinθ＝mglx，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝－G1＝－mglx＝－kx.因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．摆球经过平衡位置时，回复力为零，而合力不为零，此时合力提供小球做圆周运动的向心力．关于单摆，下列说法中正确的是()A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B．摆球受到的回复力是它的合力C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比[解析]单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，A对、B错；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)，C错；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，D错．[答案]A对单摆的摆动过程的动力学分析，首先要搞清单摆的运动既有往复性摆动又有绕悬点的圆周运动，搞清单摆回复力和向心力的来源．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是()A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B．单摆在运动过程中，摆球受重力和绳的拉力，故A错．重力垂直于绳的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿绳指向悬点，故C、D错，B对．对单摆周期公式的理解及应用1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋d2，L为摆线长，d为摆球直径．(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长，其周期T＝2πlsinαg.图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．2．等效重力加速度(1)若单摆在光滑斜面上摆动，如图：则等效重力加速度g′＝g·sinα，其周期为T＝2πLgsinα.(2)若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：图(c)场景中的等效重力加速度g′＝gsinα，球相对静止在O时，FT＝mgsinα，等效加速度g′＝FTm＝gsinα.3．模型的等效：如图(d)所示，光滑的半球壳半径为R，O点为最低点，小球在O点附近的来回运动等效于单摆的简谐运动．球壳对球的支持力与摆线的拉力等效，其等效摆长为半球壳的半径R，故其周期公式为：T＝2πRg.命题视角1单摆周期公式的简单应用如图所示是描绘沙摆振动图像的实验装置和木板上留下的实验结果．沙摆的运动可看做简谐运动．若用手向外拉木板的速度是0.20m/s，木板的长度是0.60m，那么下列说法中正确的是()A．该沙摆的周期为3sB．该沙摆的频率为1.5HzC．这次实验所用的沙摆的摆长约为56cmD．这次实验所用的沙摆的摆长约为1.5m[解析]由题，薄木板水平匀速运动，运动时间为：t＝sv＝0.60.2s＝3s，设沙摆的周期为T，由图看出，2T＝t，得：T＝1.5s．频率为f＝1T＝23Hz，选项A、B错误；由单摆的周期T＝2πlg，得：l＝gT24π2＝0.56m＝56cm，选项C正确，D错误．[答案]C命题视角2等效法处理单摆问题如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两小球同时释放，则()A．球A先到达C点B．球B先到达C点C．两球同时到达C点D．无法确定哪个球先到达C点[解析]球A做自由落体运动，到达C点的时间为TA＝2hg＝2Rg.当BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T＝2πlg＝2πRg.球B离最低点C很近，因此球B运动到C点所需的时间是TB＝T4＝π2Rg，故TATB，显然球A先到达C点．[答案]A【通关练习】1．做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的94倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的23，则单摆振动的()A．周期不变，振幅不变B．周期不变，振幅变小C．周期改变，振幅不变D．周期改变，振幅变大解析：选B．由单摆的周期公式T＝2πLg可知，单摆摆长不变，则周期不变；摆球经过平衡位置的速度减为原来的23，由于振动过程中机械能守恒，故：mgh＝12mv2，据此式可知，速度变小，高度减小，所以偏离平衡位置的最大距离变小，即振幅减小；故选B．2．如图所示实线和虚线分别是同一个单摆在A、B两个大小相同的星球表面的振动图像，其中实线是A星球上的，虚线是B星球上的，则两星球的平均密度ρA∶ρB是()A．1∶2B．2∶1C．4∶1D．8∶1解析：选C．由图示图像可知，2TA＝TB，由单摆周期公式T＝2πlg，故gAgB＝41，万有引力等于重力，GMmR2＝mg，又M＝ρ·43πR3，所以两个星球的平均密度之比ρA∶ρB＝4∶1，故C正确，A、B、D错误．3．(多选)细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方12摆长处有一个能挡住摆线的钉子P，如图所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是()A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时单摆的周期小B．摆球在左右两侧上升的最大高度一样C．摆球在平衡的位置左右两侧走过的最大弧长相等D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍解析：选AB．摆线被钉子挡住后，绕A点做单摆运动，摆长发生变化，则周期也要发生变化．以前往返一次的周期T＝2πlg.挡住后，往返一次的周期为πlg＋πl2g，故A正确；根据机械能守恒定律，摆球在左、右两侧上升的最大高度一样．故B正确；由几何关系得，右边的弧长小于左边的弧长，故C错误；由几何关系得，摆球在平衡位置右侧的最大摆角不是左侧的两倍，故D错误．