最优捕鱼策略

为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业等资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕捞策略。假设这种鱼分4个年龄组：称一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99(克）;各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（/年）；这种鱼季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为为1.109×105（个），3龄鱼产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为（1龄鱼条数与产卵总量n之比）1.22×1011/(1.22×1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期的前8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。最优捕鱼策略（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才能使总收获量最高。（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出.模型的假设（2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生.（3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异.（4）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼.（5）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行.Ni(t)—t时刻i龄鱼的数量Ni0(k)—第k年初i龄鱼的数量Ni1(k)___第k年底i龄鱼的数量(i=1，2，3，4)r—鱼的自然死亡率c—4龄鱼的平均产卵量(则c/2为3龄鱼的平均产卵量)Qk—k年度鱼产卵总量p—鱼卵的成活率Mi—第i龄鱼的平均重量(i=1，2，3，4)Ei—第i龄鱼的捕捞强度系数ai—对i龄鱼的年捕捞量(i=3，4）W—年总收获量，即W=M3a3+M4a4WW—5年的总收获量为，即符号说明.51kk模型的建立第一步得出基本模型•给出第k年底i龄鱼的数量Ni1(k)与第k年初i龄鱼的数量Ni0(k)之间的递推关系•给出年度捕鱼量•给出第k+1年初i龄鱼的数量Ni0(k+1)与第k年初i龄鱼的数量Ni0(k+1)的递推关系由已知条件，可得12345.07;11.55;17.86;22.99,MMMM50.8;1.10910,rc12340;0.42;()EEEEEE待求（E为捕捞努力量）第二步得出最终模型•根据可持续捕捞的要求,给出约束条件及其目标函数已知r为自然死亡率，其定义为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比。由于不捕捞1、2龄鱼，所以在[t，t+Δt]内，根据死亡率的定义，0()()()1lim,1,2.()()iiitiiNtNttdNtritNtNtdt00()(),01,1,2()iiiitdNtrNttdtiNtN变形得0(),1,2.rtiiNtNei解得10(),1,2.riiNtNei从而(1)第一步（时间以年为单位，考虑一年内各龄鱼数量的演化）对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此在前8个月内，捕捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为00()2[](),03,3,4()iiiiitdNtrENttdtiNtN2[]302(),3,4.3irEiiNNei[]02(),0,3,4.3irEtiiNtNeti(2)由(2)式解得从而对于3、4龄鱼由于后四个月无捕捞，只有自然死亡，所以在后四个月其数量演化的方程为23()2(),13,3,42()()3iiiitdNtrNttdtiNtN(3)2()322()(),1,3,4.33rtiiNtNeti解得从而2()33102(),3,4.3iErriiiNNeNei由于仅在前八个月捕捞,且仅捕捞3龄鱼和4领鱼，而且捕捞强度系数表示的是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群总量成正比的比例系数，所以对i龄鱼的年捕捞量为2302[]300()2/30()(1),3,4iiiiirEtiirEiiaENtdtENedtENeirE34334422()()343330403417.86(1)22.99(1).rErEWaMaMEENeNerErE从而一年内捕鱼总收获量为由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相同，综上可得：第k年底i龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i龄鱼的数量Ni0(k)的递推关系10(),1,2.kkriiNtNei2()310,3,4.iErkkiiNNei第k年的年度捕鱼收获量3422()()343330403417.86(1)22.99(1).rErEkkkEEWNeNerErE(4)(5)由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系式(4)得34()()()()()34314111()(1)()1011()(1)()()201110(1)()()30212022(1)()()()()334031413040(0.5)1.22101.2210.kkkkkkkkkkkkrkkkrrErEkkkkkQQQcNcNQNpQQNNNeNNNeNNNNeNe从而第k+1年初i龄鱼的数量Ni0(k+1)与第k年初i龄鱼的数量Ni0(k)的递推关系为343422()()()33304011()(1)1011()(1)()2010(1)()302022(1)()()33403040()1.22101.2210.rErEkkkkkkkkrkkrrErEkkkQcNeNeQNQNNeNNeNNeNe(6)(5)式是每年捕鱼的总收获量，式(6)刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况，它们一起构成了基本模型。（1）为了实现可持续的最大捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），即要求的前提下获得最高年收获量。结合基本模型，即可得到年度产量最优模型：343422()()()()343330403422()()()33304011(1)(1)()101011(1)(1)()()201020(1)()3020maxmax{17.86(1)22.99(1)}(0.5)1.22101.2210rErEkkrErEkkkkkkkkkrkkkEEWNeNerErEQcNeNeQNNQNNeNNN34()3022(1)()()()3340304040rkrErEkkkkeNNNeNeN(7)其中约束条件第二个等号说明各组鱼群条数及产卵量均与k无关。第二步优化模型（7）中的约束条件与k无关，故可把k丢掉，并利用E3=0.42E4，把目标函数和约束条件同时化简得44344422(0.42)()44333040442233303011101120103020220.42334030400.42maxmax{17.86(1)22.99(1)}0.42(0.5)1.22101.2210rErErErErrrErEEEWNeNerErEQcNeNecQNQNNeNNeNNeNe(7’)注意到四个约束条件中含五个变量,因此从约束方程组可用符号计算软件解出Ni0(i=1，2，3，4),它们都是E4的函数,从而目标函数就是E4的一元函数.问题最终归结为一元函数的极值问题.该模型也可完全通过数值迭代求解！即：E4从0开始，逐渐增加，逐个计算W，挑出使W最大的E4。%最优捕鱼策略ch431%文件名：ch431.mx=sym('x');E3=0.42*x;d=1.22*10^11;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x))));N10=d*q/(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r);a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)))*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));供参考的MATLAB计算程序模型的求解M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M;M10=char(M);M11=char(M1);fplot(M10,[0,100])E4=fmin(M11,0,100);E3=0.42*E4;d=1.22*10^11;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4))));N10=d*q/(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r);a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)))*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));M3=17.86;M4=22.99;E3E4M=M3*a3+M4*a4;Max=MN1=N10%各年龄组鱼的数量N2=N1*exp(-r)N3=N2*exp(-r)N4=N40执行后输出E3=7.335E4=17.4664Max=3.8886e+11各年龄组数为N1=1.1958e+11N2=5.3730e+10N3=2.4142e+10N4=8.1544e+702040608010000.511.522.533.54x1011图4-5年度总捕获量随捕捞强度E4的变化曲线E4W(g)(2)针对渔业公司的5年固定努力量的捕捞计划，我们在已知各年龄组鱼初始条数的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得以后各年龄组鱼的初始条数，以及各年的年度捕捞收获量，这些量都是E4的函数。数值解得WWmax=1.6057×1012gE4=17.58E3=7.383W1=1.6057×1012gW2=1.6057×1012gW3=1.6057×1012gW4=1.6057×1012gW5=1.6057×1012g建模过程完了吗？模型检验合同要求五年后鱼群的生产能力不能收到太大的破坏，那么我们所得的解是否满足要求呢？这就要做模型检验。为了分析对鱼群的生产能力的破坏程度，通常认为在天然情况下，鱼的生态系数总能趋于平衡，而对鱼的捕捞，使鱼的数量偏离了其平衡点。因而可以用五年捕捞后鱼群数量恢复所需的年数来衡量对鱼的