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习题课圆周运动的临界问题课堂互动探究要点一水平面内圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界问题，无非是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳子的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关联．解答此类问题的方法是找准临界点，应用圆周运动的动力学规律分析．【典例】如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L＝2m的细绳悬一质量为m＝1kg的小球，圆锥顶角为2θ＝74°.求：(g取10m/s2)(1)当小球以ω＝1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力；(2)当小球以ω＝5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力．[思路点拨][解析](1)当小球刚要离开锥面时支持力为零，根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝mω20Lsinθ解得：ω0＝2.5rad/s当ω＝1rad/s2.5rad/s时，小球没有离开锥面根据牛顿第二定律得：Tsinθ－Ncosθ＝mω2LsinθTcosθ＋Nsinθ＝mg代入数据得：T＝8.72N(2)当ω＝5rad/s2.5rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为βT1sinβ＝mω2Lsinβ解得：T1＝mω2L＝1×25×2N＝50N[答案](1)8.72N(2)50N处理圆周运动中的临界问题时，首先要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，其次是分析达到临界条件时物体所处的状态，即临界线速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解.通常碰到较多的是如下一些类型1与绳子的弹力有关的临界问题：此问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度或线速度等2与支持面弹力有关的临界问题：此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度或线速度等3因静摩擦力而产生的临界问题：此问题要分析出静摩擦力为零或最大这一临界状态下的角速度或线速度等.[针对训练]如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到转轴的距离分别为rA＝20cm，rB＝30cm.A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4，试求：(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0；(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω；(3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？[解析](1)当细线上开始出现张力时，表明B与圆盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则kmg＝mrBω20.解得ω0＝kgrB＝0.4×100.3rad/s≈3.65rad/s.(2)当A开始滑动时，表明A与圆盘间的静摩擦力也已达到最大，设此时圆盘转动角速度为ω，线上拉力为FT，则对A，FfAm－FT＝mrAω2，对B，FfBm＋FT＝mrBω2.以上两式中，FfAm＝FfBm＝kmg.解以上三式得ω＝2kgrA＋rB＝2×0.4×100.2＋0.3rad/s＝4rad/s.(3)烧断细线，A与圆盘间的静摩擦力减小，继续随圆盘做半径为rA＝20cm的圆周运动；B由于ffBm不足以提供必要的向心力而做离心运动．[答案](1)3.65rad/s(2)4rad/s(3)见解析要点二竖直面内圆周运动的临界问题1．轻绳模型(轻绳或单侧轨道类)小球在最高点的临界速度(最小速度)v0＝gr.小球恰能通过圆周最高点时，绳对小球的拉力为0，轨道对小球的弹力为0，即临界条件：FT＝0或FN＝0，此时重力提供向心力．v≥gr时，小球能通过最高点；vgr时，小球不能到达最高点．2．轻杆模型(轻杆或双侧轨道类)因轻杆和管壁能对小球产生支撑作用，所以小球达到最高点的速度可以为0，即临界速度v0＝0，此时支持力FN＝mg.【典例】质量为0.2kg的小球固定在长为L＝0.9m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动．(取g＝10m/s2)求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s时，球对杆的作用力．[思路点拨]由于绳不能提供支持力，而杆可提供支持力，所以轻绳模型和轻杆模型通过最高点的临界条件是不同的．杆对小球的作用力既可以向外，也可以向内，方向可先假定，然后根据计算结果的正负来确定．[解析](1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝mv20L，解得v0＝gL＝10×0.9m/s＝3m/s.(2)设小球在最高点时杆对球的作用力为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得F＋mg＝mv2L，分别代入v1＝6m/s和v2＝1.5m/s，得F1＝6N、F2＝－1.5N，由牛顿第三定律可得，球对杆的作用力F1′＝6N，方向向上，F2′＝1.5N，方向向下．[答案](1)3m/s(2)6N，竖直向上1.5N，竖直向下[针对训练]一轻绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5kg，绳长L＝60cm，求：(g取9.8m/s2)(1)在最高点时水不流出桶的最小速率；(2)水在最高点的速率v＝3m/s时，水对桶底的压力．[解析](1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．设在最高点时的临界速度为v0，则有mg＝mv20L，得v0＝gL＝9.8×0.6m/s＝2.42m/s.(2)在最高点时，桶的速率vv0，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则有mg＋FN＝mv2L得FN＝mv2L－mg＝0.5×320.6－9.8N＝2.6N由牛顿第三定律可得，水对桶底的压力FN′＝FN＝2.6N，方向竖直向上．[答案](1)2.42m/s(2)2.6N，竖直向上