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第5节向心加速度学习目标1.知道匀速圆周运动是变速运动,具有指向圆心的加速度——向心加速度。2.知道向心加速度的表达式,并会用来进行简单的计算。3.能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。4.知道向心加速度的公式也适用于变速圆周运动。自主学习教材提炼[知识梳理]一、匀速圆周运动中加速度的方向1.做匀速圆周运动的物体,其加速度的方向,这个加速度称为。2.由于匀速圆周运动中向心加速度的方向,所以匀速圆周运动既不是运动,也不是运动,而是运动。总指向圆心向心加速度时刻在发生变化匀速匀加速变加速二、向心加速度的大小公式an=2vr,计算向心加速度的公式还有an==。ω2rvω[练一练]1.2013年6月20日,航天员王亚平在“天宫一号”舱内授课,演示了小球做匀速圆周运动。小球运动过程中一定会发生变化的是()A.速率B.周期C.加速度D.角速度C解析:向心加速度是矢量,且方向始终指向圆心,因此为变量,选项C正确。2.关于地球上的物体随地球自转的向心加速度,下列说法正确的是()A.在赤道上的向心加速度最小B.在地球上各处的向心加速度一样大C.随着纬度升高,向心加速度逐渐减小D.在地球上各处的向心加速度都指向地心C解析:地球上的物体随地球自转的角速度是相等的,而在赤道上的物体其圆周运动的半径最大,由an=rω2可知,选项A,B错误;随着纬度升高,圆周运动的半径逐渐减小,由an=rω2可知,选项C正确;地球上各点做圆周运动的圆心在地球自转的转轴上,向心加速度并不都是指向地心,故选项D错误。3.一辆高速列车在试验时以360km/h的恒定速率在半径为20000m的水平面上做匀速圆周运动。则驾驶员做圆周运动的加速度为()A.0B.0.5m/s2C.2.88m/s2D.5.0m/s2B解析:驾驶员随列车做圆周运动的速率v=360km/h=100m/s,向心加速度an=2vr=210020000m/s2=0.5m/s2,选项B正确。4.如图所示,一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转,A,B为球体上两点,下列说法中正确的是()A.A,B两点具有相同的角速度B.A,B两点具有相同的线速度C.A,B两点的向心加速度的方向都指向球心D.A,B两点的向心加速度之比为2∶1A解析:A,B为球体上两点,因此,A,B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同,A正确;如图所示,A以P为圆心做圆周运动,B以Q为圆心做圆周运动,因此,A,B两点的向心加速度方向分别指向P,Q,C错误;设球的半径为R,则A运动的半径rA=Rsin60°,B运动的半径rB=Rsin30°,ABvv=ABrr=sin60sin30=3;ABaa=22ABrr=3,B,D错误。要点一对向心加速度的理解课堂探究[例1]下列关于圆周运动的加速度、向心加速度的方向说法不正确的是()A.在匀速圆周运动中,向心加速度的方向一定指向圆心B.在匀速圆周运动中,加速度的方向一定指向圆心C.在圆周运动中,向心加速度的方向一定指向圆心D.在圆周运动中,加速度的方向一定指向圆心D思路探究:(1)在匀速圆周运动中,速度大小和方向哪个发生变化?(2)在非匀速圆周运动中,速度大小和方向哪个发生变化?(3)向心加速度是描述哪个物理量变化快慢的物理量?加速度是描述哪个物理量变化快慢的物理量?答案:(1)在匀速圆周运动中,速度大小不发生变化,方向时刻在变化。(2)非匀速圆周运动中,速度大小和方向都时刻在变化。(3)向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量,加速度是描述速度(大小和方向)变化快慢的物理量。解析:在圆周运动中(匀速圆周运动和非匀速圆周运动),向心加速度的方向一定指向圆心,故选项A,C正确;由于在匀速圆周运动中,速度的大小不发生变化,因此加速度和向心加速度是相同的,故均指向圆心,选项B正确;在非匀速圆周运动中,向心加速度指向圆心,加速度不指向圆心,选项D不正确。规律方法圆周运动中的加速度和向心加速度的关系(1)不管物体做什么样的圆周运动,其向心加速度的方向一定指向圆心。(2)在匀速圆周运动中,加速度的方向一定指向圆心,在非匀速圆周运动中,加速度的方向一般不指向圆心。针对训练1:关于向心加速度,下列说法正确的是()A.它是描述角速度变化快慢的物理量B.它是描述线速度大小变化快慢的物理量C.它是描述线速度方向变化快慢的物理量D.它是描述角速度方向变化快慢的物理量C解析:圆周运动的向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小,向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,做圆周运动的物体,其切向加速度改变线速度大小,它是描述线速度大小变化快慢的物理量。向心加速度不改变角速度的大小和方向,故选项A,B,D均错误,C正确。要点二向心加速度的表达式及其应用A.根据公式an=2vr,可知其向心加速度an与半径r成反比B.根据公式an=ω2r,可知其向心加速度an与半径r成正比C.根据公式ω=vr,可知其角速度ω与半径r成反比D.根据公式ω=2πn,可知其角速度ω与转速n成正比[例2]对于做匀速圆周运动的质点,下列说法正确的是()D思路探究:多变量表达式中,要确定其中两个变量为正比或反比关系,对第三个量有何要求?答案:多变量表达式中,要确定其中两个变量为正比或反比关系,第三个量应为定值。解析:在公式an=2vr中,只有当线速度大小为定值时,才能得出“an与半径r成反比”的结论,故选项A错误;同理选项B,C也是错误的,只有选项D正确。规律方法an与r的关系图象如图甲、乙所示,由an-r图象可以看出:an与r成正比还是反比,要看是ω恒定还是v恒定。针对训练2:飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可近似看成圆弧,如果这段圆弧的半径r=800m,飞行员能承受的最大加速度为8g(g=10m/s2),则飞机在最低点的速度不得超过多少?解析:飞机在最低点做圆周运动,其向心加速度不得超过8g才能保证飞行员的安全,由an=2vr,得v=nar=810800m/s=8010m/s。答案:8010m/s课堂达标1.下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是()A.匀速运动B.匀加速运动C.加速度不变的曲线运动D.变加速曲线运动D解析:匀速圆周运动是变速运动,它的加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变量,故匀速圆周运动是变加速曲线运动,选项A,B,C错误,D正确。2.航天训练中心通常应用离心机对航天员进行超重模拟训练。如图所示为目前我国航天员中心用来训练的载人离心机,若其旋转手臂长L,航天员在训练舱中训练时达到8倍重力加速度,则此时航天员做圆周运动的线速度大小为()BA.8gLB.8gLC.8gLD.8gL解析:由an=2vr得,v=naL=8gL。3.一只质量为m的老鹰,以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动,则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()C解析:根据an=2vr可知选项A,B错误;由于老鹰在水平面内运动,向心加速度始终指向圆心,所以向心加速度的方向在水平面内,选项C正确,D错误。A.大小为22vrB.大小为g-2vrC.方向在水平面内D.方向在竖直面内4.如图所示为一辆处于静止状态的自行车,前、后轮的半径都为0.3m,若使自行车后轮架空(前轮未离地),用手以每秒1圈顺时针转动踏脚板,A,B点在轮缘上,C点在辐条上,则以下说法正确的是()A.B点的瞬时速度为0.3m/sB.B,C两点的角速度为2∶1C.B点向心加速度一定比C点的大D.若在骑行时,A点的瞬时速度向前C解析:B点的瞬时速度v=2πrT,因为大轮与飞轮的半径比未知,不可得,即A选项错误;B,C两点同绕后轮的轴心转动,角速度相同,B选项错误;由向心加速度an=ω2r,rBrC,可得B点向心加速度比C点的大,C选项正确;若在骑行时,A点的速度方向向后,D选项错误。5.在光滑水平面上有两个质点A和B,其中质点A绕O点做圆周运动,圆周半径为R,线速度大小为v0,而质点B做匀变速直线运动。在图中所示时刻,A,B两质点的速度大小和方向相同。若要此后某一时刻,质点B和A的速度大小和方向又相同。求:(1)质点B的加速度a应满足什么条件?解析:(1)此后某一时刻质点B和A的速度大小和方向相同,则质点B必先减速后加速,且是回到出发点,即其运动时间为tB=02va;又要使两质点速度方向相同,则质点A的运动时间为tA=(n+12)T,式中T=02πRv,而tB=tA,综合解得a=202π(21)vnR(n=0,1,2,3,…)。答案:(1)a=202π(21)vnR(n=0,1,2,3,…)解析:(2)取n=0即得最大加速度am=202πvR。答案:(2)202πvR(2)满足上述要求的加速度的最大值为多少?