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7生活中的圆周运动[课标解读]1.知道如果一个力或几个力的合力的效果使物体产生向心加速度，这个力或这几个力的合力就是做圆周运动的物体所受的向心力．会在具体问题中分析向心力的来源.2.能理解运用匀速圆周运动的规律分析和处理生产和生活中的具体实例.3.知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度．一、铁路的弯道1．运动特点：火车转弯时实际是在做运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的力．2．向心力来源(1)若转弯时内外轨一样高，则由对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损．(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由和的合力提供．支持力FN圆周向心外轨重力G二、拱形桥汽车过凸形桥汽车过凹形桥受力分析汽车过凸形桥汽车过凹形桥向心力Fn＝＝mv2RFn＝＝mv2R对桥的压力FN′＝_________FN′＝_________结论汽车对桥的压力小于汽车的重量，而且汽车速度越大，对桥的压力汽车对桥的压力大于汽车的重量，而且汽车速度越大，对桥的压力mg－FNFN－mgmg－mv2Rmg＋mv2R越大越小三、航天器中的失重现象1．向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，＝mv2R.2．支持力分析：FN＝．3．讨论：当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于状态．四、离心运动1．定义：物体沿切线飞出或做圆心的运动．2．原因：向心力突然或合力不足以提供．3．应用：洗衣机的，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等．mg－FNm(g－v2R)Rg脱水筒完全失重逐渐远离消失所需向心力[判断](1)铁路的弯道处，内轨高于外轨．()(2)汽车行驶至凸形桥顶时，对桥面的压力等于车重．()(3)汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力一定大于车重．()(4)做离心运动的物体可以沿半径方向运动．()(5)做离心运动的物体一定受到离心力的作用．()提示：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×要点一火车转弯问题1．火车弯道的特点在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车转弯所需的向心力可以几乎完全由重力和支持力的合力提供，即mgtanθ＝mv02R，如图所示，则v0＝gRtanθ.其中R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度．2．明确圆周平面虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面，即火车的向心加速度和向心力均是沿水平面而指向圆心．3．速度与轨道压力的关系(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内轨或外轨对火车无挤压作用．(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅有重力和弹力的合力提供，此时内轨或外轨对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：①当火车行驶速度vv0时，外轨道对轮缘有侧压力；②当火车行驶速度vv0时，内轨道对轮缘有侧压力．[特别提醒]汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力，以减小车轮受到地面施加的侧向静摩擦力．[例1]一段铁路转弯处，内外轨高度差为h＝10cm，弯道半径为r＝625m，轨距l＝1435mm，求这段弯道的设计速度v0是多大．讨论当火车速度大于或小于v0时内外轨所受的侧压力(g取10m/s2)．[解析]当火车以设计速度v0运行时，其受力示意图如图所示，其中G与FN的合力F＝mgtanθ提供火车转弯的向心力，又F＝mv02r，所以mgtanθ＝mv02r.当θ很小时，sinθ≈tanθ＝hl，代入上式有v0＝ghrl＝10×0.1×6251.435m/s＝20.87m/s＝75km/h.讨论：当vv0时，外轨对外轨边缘产生沿路面向内的弹力(侧压力)，此时火车受力如图所示，设火车的质量为m，根据牛顿第二定律有FNsinθ＋F外cosθ＝mv2r①FNcosθ＝F外sinθ＋mg②联立①②两式解得F外＝mv2rcosθ－mgsinθ由此看出，火车的速度v越大，F外越大，铁轨容易损坏，若F外过大，会造成铁轨的侧向移动，损坏铁轨，造成火车出轨．当vv0时，内轨对内轮缘产生沿路面向外的侧压力以抵消多余的向心力，同理有FNsinθ－F内cosθ＝mv2r，FNcosθ＋F内sinθ＝mg联立解得F内＝mgsinθ－mv2rcosθ可以看出，v越小，F内越大，内轨的磨损也较大，因此在有弯道限速标志的地方一定要遵守规定．[答案]75km/h讨论见解析在分析车辆转弯问题时，首先要确定车辆转弯所做圆周运动的轨道平面、圆心和半径，然后分析车辆的受力，找到向心力的来源．在找向心力时，通常在受力分析的基础上，按力的正交分解法将力沿半径方向和垂直于半径方向分解，其中沿半径方向的合力即为向心力．1.如图所示，若火车按规定速度转变时，内、外轨对车轮皆无侧向压力．当火车以小于规定速率转弯时()A．仅内轨对车轮有侧压力B．仅外轨对车轮有侧压力C．内、外轨对车轮都有侧压力D．内、外轨对车轮都无侧压力解析：当火车以规定的速率转弯时，恰好是重力与支持力的合力提供向心力；一旦火车以小于规定速率转弯，所需要的向心力小于重力与支持力的合力，此时内轨会产生对车轮的侧压力．故选项A正确．答案：A2．在高速公路的转弯处，路面造得外高内低，当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧要略高一些．设转弯的半径为R，在车速为v的情况下，要使车子拐弯时沿倾斜路面没上下滑动的趋势，路面与水平面的夹角应该为多大？解析：汽车转弯时垂直于合力方向的受力分析如图所示．根据牛顿第二定律列方程有mgtanθ＝mv2R则tanθ＝v2gR，故θ＝arctanv2gR.答案：arctanv2gR要点二竖直面内的圆周运动1．轻绳模型如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，则mg＝mv2r，则v＝gr.在最高点时：(1)v＝gr时，拉力或压力为零；(2)vgr时，物体受向下的拉力或压力；(3)vgr时，物体不能达到最高点．即绳类的临界速度为v临＝gr.2．轻杆模型如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球在最高点的受力情况为：(1)v＝0时，小球受向上的支持力FN＝mg；(2)0vgr时，小球受向上的支持力0FNmg；(3)v＝gr时，小球除重力之外不受其他力；(4)vgr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．即杆类的临界速度为v临＝0.[特别提醒]对竖直平面内的圆周运动：(1)要明确运动的模型，即绳或杆；(2)由不同模型的临界条件分析受力情况，找到向心力的来源．[例2]许多同学都看过杂技演员表演的“水流星”，一根绳子系着盛水的两个杯子，演员抡起绳子中央，杯子就做圆周运动，而且水不从杯里洒出，甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水也不会从杯里洒出来，如图所示．设水的质量为m＝0.5kg，绳子总长为2L＝1.6m，g取10m/s2.求：(1)在最高点水不流出的最小速率；(2)在最高点速率v＝4m/s时，水对杯底的压力．[解析](1)在最高点水不流出的临界条件是杯底对水的压力为零，即满足mg＝mv02L，解得最小速率v0＝gL＝22m/s＝2.8m/s.(2)当水在最高点的速率大于v0时，重力已不能提供足够的向心力，此时水杯底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有FN＋mg＝mv2L，所以FN＝mv2L－mg＝5N.由牛顿第三定律知，水对杯底的作用力FN′＝FN＝5N，方向竖直向上．[答案](1)2.8m/s(2)5N，方向竖直向上竖直平面内圆周运动的分析方法(1)明确运动的类型，是细绳模型还是轻杆模型．(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．(4)有时某个力不方便直接求解，可应用牛顿第三定律，转换研究对象，先求其反作用力，然后再求该力．3.如图所示，长度l＝0.50m的轻质杆OA，A端固定一个质量m＝3.0kg的小球，小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动．通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA()A．受到6.0N的拉力B．受到6.0N的压力C．受到24N的拉力D．受到54N的压力解析：取竖直向下为正方向，设杆对球的拉力为FN，对小球由牛顿第二定律得mg＋FN＝mv2R，所以FN＝－mg＋mv2R＝－3.0×10N＋3.0×2.020.50N＝－6.0N，故杆对球的力为支持力，方向向上．由牛顿第三定律知，杆受到的压力大小FN′＝FN＝6.0N.答案：B4．如图所示，质量为0.1kg的木桶内盛水0.4kg，用50cm的绳子系住桶，并使它在竖直平面内做圆周运动．如果通过最高点和最低点时的速度大小分别为9m/s和10m/s，求最高点和最低点水对桶底的压力和木桶对绳的拉力．(g取10m/s2)解析：最高点时水的受力如图甲所示，由牛顿第二定律得mg＋FN1＝mv12r代入数据解得FN1＝60.8N由牛顿第三定律知水对桶底的压力FN1′＝FN1＝60.8N，竖直向上．水和木桶整体受力如图乙所示，(m＋M)g＋FT1＝(m＋M)v12r解得FT1＝76N则由牛顿第三定律知木桶对绳的拉力FT1′＝FT1＝76N，竖直向上．最低点时水的受力如图丙所示，FN2－mg＝mv22rFN2＝84N由牛顿第三定律知水对桶底的压力FN2′＝FN2＝84N，竖直向下．水和木桶整体受力如图丁所示，FT2－(m＋M)g＝(m＋M)v22rFT2＝105N由牛顿第三定律知木桶对绳的拉力FT2′＝FT2＝105N，竖直向下．答案：见解析要点三对离心运动的理解1．离心运动的实质离心运动的实质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来．一旦作为向心力的合力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动．2．离心运动的受力特点物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是外力不能提供足够的向心力，所谓的“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在．3.合力与向心力的关系(1)如图所示，若F合＝mrω2或F合＝mv2r，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”；(2)若F合mrω2或F合mv2r，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”；(3)若F合mrω2或F合mv2r，则外力不足以将物体拉回到原圆周轨道上，物体逐渐远离圆心而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”；(4)若F合＝0，则物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．[例3](多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是()A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动[解析]若拉力突然变大，则小球将做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，A错误．若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球将做曲线运动，B正确，D错误．若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线运动，C正确．[答案]BC离心现象的三点注意(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式．(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心．(3)物体做圆周运动所需要的向心力越大，就越容易发生离心现象．5．下列说法中，正确的是(