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5向心加速度[课标解读]1.理解速度变化量和向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能用向心加速度公式求解有关问题．一、感受圆周运动的向心加速度1．圆周运动必有加速度：圆周运动是运动，运动必有加速度．2．匀速圆周运动的加速度方向实例地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动光滑桌面上的小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动受力分析地球受太阳的引力，方向指向，即为地球轨迹的小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向加速度分析由牛顿第二定律知，加速度方向与其合力方向相同，指向圆心变速变速太阳中心圆心圆心二、向心加速度1．定义：做匀速圆周运动的物体具有的指向的加速度．2．大小：(1)an＝；(2)an＝.3．方向：沿半径方向指向，与线速度方向．垂直圆心ω2r圆心v2r[判断](1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变．()(2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动．()(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变．()(4)根据a＝v2r知加速度a与半径r成反比．()(5)根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比．()提示：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×要点一对向心加速度概念的理解1．物理意义：描述线速度改变的快慢，只改变线速度方向，不改变其大小．2．方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动．3．无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心．[特别提醒]做变速圆周运动的物体，加速度一般不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改变速度大小．[例1]下列关于向心加速度的说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终指向圆心B．向心加速度的方向保持不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化[解析]向心加速度的方向时刻指向圆心，线速度的方向时刻沿圆周的切线方向，故向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，A正确；在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，是不断变化的，故B、C、D错误．[答案]A(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢．(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变．1．关于向心加速度，下列说法正确的是()A．向心加速度是描述线速度变化的物理量B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变D．向心加速度的大小也可用a＝v－v0t来计算解析：加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错，B对．只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C错．公式a＝v－v0t适用于匀变速运动，圆周运动是变加速运动，D错．故正确答案为B.答案：B2．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是()A．向心加速度表示速率改变的快慢B．向心加速度表示角速度变化的快慢C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢D．向心加速度不变答案：C要点二对向心加速度公式的理解1．公式：an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．an与r的关系图象如图a、b所示．3．理解(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增大或周期的减小而增大．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．4．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动．5．向心加速度的几个注意要点(1)向心加速度是矢量，方向总指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．向心加速度的大小表示线速度方向改变的快慢．(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算．[特别提醒]上述向心加速度的表达式中，an均与两个物理量有关，在讨论与其中某一个量的关系时，要注意另一个量是否发生变化．[例2]如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮的半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是3个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()A．1∶2∶3B．2∶4∶3C．8∶4∶3D．3∶6∶2[思路点拨]根据传动装置的特点，先判断出各点间的v或ω的关系，再根据公式an＝v2r或an＝ω2r求解．[解析]因皮带不打滑，A点、B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率，根据向心加速度公式an＝v2r可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.B点、C点是共轴转动的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度公式an＝rω2可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.所以aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.[答案]C求解此类问题的关键是抓住传动装置的特点，确定各点是线速度大小相同，还是角速度相同，然后根据描述圆周运动的各物理量之间的关系求解．3.如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中有A、B、C三点，这三点所在处半径rA＞rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC之间的关系是()A．aA＝aB＝aCB．aC＞aA＞aBC．aC＜aA＜aBD．aC＝aB＞aA解析：由题意知vA＝vB，ωA＝ωC，由an＝v2r＝rω2知，v一定时，an与r与反比；ω一定时，a与r成正比．因vA＝vB，rA＞rB，故aA＜aB.因ωA＝ωC，rA＞rC，故aC＜aA，所以aC＜aA＜aB，故应选C.答案：C4．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，那么()A．角速度ω＝anRB．时间t内通过的路程为s＝tanRC．周期T＝RanD．可能发生的最大位移为2πR解析：由an＝ω2r，得ω＝anr＝anR，A错误；由an＝v2r，得线速度v＝anr＝anR，所以时间t内通过的路程为s＝vt＝tanR，B正确；由an＝ω2r＝4π2T2r，得T＝2πran＝2πRan，C错误；对于做圆周运动的物体而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D错误．答案：B[随堂训练]1．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是()A．它描述的是线速度方向变化的快慢B．它描述的是线速度大小变化的快慢C．它描述的是角速度变化的快慢D．它描述的是转速变化的快慢解析：匀速圆周运动的线速度大小和角速度都是不发生变化的，转速变化的快慢与角速度变化的快慢是对应的，所以B、C、D是错误的．向心加速度大小描述了物体线速度方向变化的快慢，向心加速度越大，v方向变化越快，A对．答案：A2.(多选)如图所示是甲、乙两球做匀速圆周运动时，向心加速度随半径变化的图象，其中图线甲为一双曲线．由图象可以知道()A．甲球运动时，线速度大小保持不变B．甲球运动时，角速度大小保持不变C．乙球运动时，线速度大小保持不变D．乙球运动时，角速度大小保持不变解析：图线甲表明物体的向心加速度与半径成反比，由a＝v2r可知，物体运动的线速度不变，选项A正确；图线乙表明物体的向心加速度与半径成正比，由a＝ω2r可知，物体的角速度大小不变，选项D正确．答案：AD3．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1a2，下列判断正确的是()A．甲的线速度大于乙的线速度B．甲的角速度比乙的角速度小C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小D．甲的线速度方向比乙的线速度方向变化快解析：由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错．向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1a2表明甲的线速度方向比乙的线速度方向变化快，D对．答案：D4．一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为4s，则该物体的向心加速度大小为()A．2m/s2B．4m/s2C．2πm/s2D．4πm/s2解析：物体的向心加速度an＝v2r，又v＝2πrT，所以物体的向心加速度为an＝2πvT＝2π×44m/s2＝2πm/s2，故C正确．答案：C5.滑板运动深受青少年的喜爱，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0m的14圆弧，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度．(不计各种阻力)解析：运动员经圆弧滑到C点时做圆周运动．由公式a＝v2r得a1＝1022.0m/s2＝50m/s2，方向竖直向上．运动员滑到C点后进入水平轨道做匀速直线运动，加速度a2＝0.答案：50m/s2，方向竖直向上0