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第四章牛顿运动定律章末优化总结动力学中的临界和极值问题1．临界状态与临界值在物体的运动状态发生变化的过程中，往往达到某一个特定状态时，有关的物理量将发生突变，此状态即为临界状态，相应的物理量的值为临界值，临界状态一般比较隐蔽，它在一定条件下才会出现．若题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语，常为临界问题．2．常见临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是弹力FN＝0.(2)相对静止或相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件为静摩擦力达到最大值或为零．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．3．求解临界极值问题的三种常用方法(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．如图所示，质量m＝1kg的光滑小球用细线系在质量为M＝8kg、倾角为α＝37°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g取10m/s2.试求：(1)若用水平向右的力F拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F不能超过多少？(2)若用水平向左的力F′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F′不能超过多少？[思路点拨](1)向右拉斜面体时，小球不离斜面体临界条件是什么？(2)向左推斜面体时，小球不沿斜面滑动的临界条件是什么？[解析](1)小球不离开斜面体，两者加速度相同、临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0对小球受力分析如图：由牛顿第二定律得：mgtan37°＝maa＝gtan37°＝403m/s2对整体由牛顿第二定律得：F＝(M＋m)a＝120N.(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0，对小球受力分析如图：由牛顿第二定律得：mgtan37°＝ma′a′＝gtan37°＝7.5m/s2对整体由牛顿第二定律得：F′＝(M＋m)a′＝67.5N.[答案](1)120N(2)67.5N求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．(2019·江西新余高一期末)如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＞tanθ，求：(1)力F多大时，物体不受摩擦力；(2)为使物体静止在斜面上，力F的取值范围．解析：(1)物体不受摩擦力时受力如图所示：由平衡条件得：Fcosθ＝mgsinθ，解得：F＝mgtanθ；(2)当推力减小时，摩擦力方向将沿斜面向上，物体受力如图所示：由平衡条件得：沿斜面方向上：Fcosθ＋f＝mgsinθ垂直于斜面方向上：Fsinθ＋mgcosθ＝N当摩擦力达到最大静摩擦力，即f＝μN时，推力F最小．解得：Fmin＝mg（sinθ－μcosθ）cosθ＋μsinθ，F较大时，摩擦力方向将沿斜面向下，受力如图所示：由平衡条件得：沿斜面方向上：Fcosθ＝f＋mgsinθ垂直斜面方向上：Fsinθ＋mgcosθ＝N当摩擦力达到最大静摩擦力，即f＝μN时，推力F最大．解得：Fmax＝mg（sinθ＋μcosθ）cosθ－μsinθ，为使物体静止在斜面上，力F的取值范围是：mg（sinθ－μcosθ）cosθ＋μsinθ≤F≤mg（sinθ＋μcosθ）cosθ－μsinθ.答案：(1)mgtanθ(2)mg（sinθ－μcosθ）cosθ＋μsinθ≤F≤mg（sinθ＋μcosθ）cosθ－μsinθ.动力学中的多过程问题的求解1．当题目给出的物理过程较复杂，由多个过程组成时，要明确整个过程由几个子过程组成，将过程合理分段，找到相邻过程的联系点并逐一分析每个过程．联系点：前一过程的末速度是后一过程的初速度，另外还有位移关系等．2．注意：由于不同过程中力发生了变化，所以加速度也会发生变化，所以对每一过程都要分别进行受力分析，分别求加速度．研究表明，一般人的刹车反应时间(即图甲中“反应过程”所用时间)t0＝0.4s，但饮酒会导致反应时间延长．在某次试验中，志愿者少量饮酒后驾车以v0＝72km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离L＝39m．减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动．取重力加速度g＝10m/s2.求：(1)减速过程汽车加速度的大小及所用时间；(2)饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少；(3)减速过程汽车对志愿者作用力的大小与志愿者重力大小的比值．[思路点拨](1)“反应过程”说明汽车做匀速直线运动．(2)“减速过程”说明汽车做匀减速直线运动．(3)“汽车停止”说明汽车的末速度为0.(4)“行驶距离”为汽车匀速和减速运动的位移之和．(5)结合“位移x与速度v的关系曲线”可由v2＝2ax求a.[解析](1)设减速过程中汽车加速度的大小为a，所用时间为t，由题可得初速度v0＝20m/s，末速度vt＝0，位移x＝25m，由运动学公式得v20＝2ax①t＝v0a②联立①②式，代入数据得：a＝8m/s2③t＝2.5s．④(2)设志愿者反应时间为t′，反应时间的增加量为Δt，由运动学公式得L＝v0t′＋x⑤Δt＝t′－t0⑥联立⑤⑥式，代入数据得Δt＝0.3s．⑦(3)设志愿者所受合外力的大小为F，汽车对志愿者作用力的大小为F0，志愿者质量为m，由牛顿第二定律得F＝ma⑧由平行四边形定则得F20＝F2＋(mg)2⑨联立③⑧⑨式，代入数据得F0mg＝415.[答案](1)8m/s22.5s(2)0.3s(3)415奥地利极限运动员菲利克斯·鲍姆加特纳乘气球升至约39km的高空后跳下，经过4分20秒到达距地面约1.5km高度处，打开降落伞并成功落地，打破了跳伞运动的多项世界纪录．取重力加速度g＝10m/s2.(1)若忽略空气阻力，求该运动员从静止开始下落至1.5km高度处所需的时间及其在此处速度的大小；(2)实际上，物体在空气中运动时会受到空气的阻力，高速运动时所受阻力的大小可近似表示为f＝kv2，其中v为速率，k为阻力系数，其数值与物体的形状、横截面积及空气密度有关．已知该运动员在某段时间内高速下落的v－t图象如图所示．若该运动员和所带装备的总质量m＝100kg，试估算该运动员在达到最大速度时所受阻力的阻力系数．(结果保留一位有效数字)解析：(1)设该运动员从开始自由下落至1.5km高度处的时间为t，下落距离为s，在1.5km高度处的速度大小为v.根据运动学公式有v＝gt①s＝12gt2②根据题意有s＝3.9×104m－1.5×103m＝3.75×104m③联立①②③式得t≈87s④v＝8.7×102m/s.⑤(2)该运动员达到最大速度vmax时，加速度为零，根据平衡条件有mg＝kv2max⑥由所给的v－t图象可读出vmax≈360m/s⑦由⑥⑦式得k≈0.008kg/m.答案：(1)87s8.7×102m/s(2)0.008kg/m