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第四章机械能和能源本章优化总结P＝WtFscosαP＝Fvmgh12mv2Ep1－Ep2W合＝Ep2－Ep1重力和系统内弹簧弹力功的正、负判断和计算1.如何判断力做功的正、负(1)利用功的公式W＝Fscosα判断，此方法适用于判断恒力做功的情况．(2)利用力F与物体速度v之间的夹角情况来判断．设其夹角为α，若0≤απ2，则力F做正功；若α＝π2，则力F不做功；若π2α≤π，则力F做负功．此方法适用于曲线运动中功的分析．(3)从能量角度分析，此方法既适用于恒力做功，也适用于变力做功．根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．如果系统机械能增加，说明外界对系统做正功；如果系统机械能减少，说明外界对系统做负功．2.功的计算方法(1)定义法求功：公式W＝Fscosα.(2)利用功率求功：此方法主要用于在发动机功率保持恒定的条件下，求牵引力做的功．求机车发动机的牵引力做的功实际上是求变力做功，一般不能用定义法求解，可由功率定义式变形求解，即W＝Pt.(3)利用动能定理求功：此方法主要用于求变力在短时间内做的功，或在曲线运动中随路径变化的外力的功，或在连续多个物理过程中求外力的功．其优点在于将上述情况中外力做功的复杂过程变为在合力作用下物体动能的变化．如图所示，绳的一端固定在天花板上，通过一动滑轮将质量m＝10kg的物体由静止开始以2m/s2的加速度提升3s．求绳的另一端拉力F在3s内所做的功．(g取10m/s2，滑轮和绳的质量及摩擦均不计)[解析]法一：物体受到两个力的作用：拉力F′和重力mg，由牛顿第二定律得F′－mg＝ma所以F′＝m(g＋a)＝10×(10＋2)N＝120N.则力F＝12F′＝60N.物体从静止开始运动，3s内的位移为s＝12at2＝12×2×32m＝9m.力F作用在绳的端点，而在物体发生9m的位移的过程中，绳的端点的位移为2s＝18m，所以力F做的功为W＝F·2s＝60×18J＝1080J.法二：本题还可用等效法求力F所做的功．由于滑轮和绳的质量及摩擦均不计，所以拉力F做的功和拉力F′对物体做的功相等．即WF＝WF′＝F′s＝120×9J＝1080J.法三：因滑轮和绳的质量及摩擦均不计，由动能定理得WF－mgs＝12mv2，又v＝at.解得WF＝1080J.[答案]1080J机械能守恒定律及其应用1.机械能守恒的判断(1)对某一物体，若只有重力(或系统内的弹力)做功，其他力不做功(或其他力做功的代数和为零)，则该物体的机械能守恒．(2)对某一系统，一般利用能量转化的观点来判断机械能是否守恒．若物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．2.利用机械能守恒定律解题常用的公式(1)系统的末态机械能等于初态机械能，即E2＝E1.(2)系统动能的增加(或减少)等于势能的减少(或增加)，即ΔEk增＝ΔEp减．(3)若系统由A、B两部分组成，则A增加(或减少)的机械能等于B减少(或增加)的机械能，即ΔEA增＝ΔEB减．如图所示是一个横截面为半圆，半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别连接物体A、B，且mA＝2mB，从图示位置由静止开始释放A物体，求当B物体到达半圆顶点时的速度v.[思路点拨]解答本题应把握以下两点：(1)运动过程中，AB系统的机械能守恒．(2)运动过程中，物体A、B的高度变化分别为πR2、R.[解析]释放后，AB系统机械能守恒．A的重力势能减少量为mAgπR2.B的重力势能增加了mBgR.A的动能增加12mAv2，B的动能增加了12mBv2，根据机械能守恒定律mAgπR2＝mBgR＋12mAv2＋12mBv2，又因为mA＝2mB可得v＝2（π－1）gR3.[答案]2（π－1）gR3功能关系和能量的转化与守恒1.能量是表征物体对外做功本领的物理量能量的具体值往往无多大意义，我们关心的大多是能量的变化量．能量的变化必须通过做功才能实现，某种力做功往往与某一具体的能量变化相联系，即功能关系．2.具体的功能关系(1)合力对物体所做的功等于物体动能的改变，即W合＝Ek2－Ek1.(2)重力做功对应重力势能的改变，即WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2.重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加．(3)弹簧弹力做功与弹性势能的改变相对应，即WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2.弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．(4)除重力(或系统内的弹力)以外的其他力做的功与物体机械能的改变相对应，即W＝ΔE.(5)一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和等于系统内能的增量，即fs相对＝Q.3.用功能关系解决的两类问题(1)已知功求能量的转化或能量的数值．(2)已知能量转化的数值求某个力做功．电动机带动水平传送带以速率v匀速转动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示，当小木块与传送带相对静止时，求：(1)小木块的位移；(2)传送带转过的路程；(3)小木块获得的动能；(4)摩擦过程产生的内能；(5)电动机为运送木块需额外输出的能量．[解析]木块刚放上，速度为零，必然受到传送带的滑动摩擦力作用，做匀加速直线运动，达到与传送带共速后不再相对滑动，整个过程中木块获得一定的动能，系统要产生内能．对小木块，相对滑动时，由ma＝μmg得加速度a＝μg，由v＝at得，达到相对静止所用的时间t＝vμg.(1)小木块的位移s1＝v2t＝v22μg.(2)传送带始终做匀速运动，路程s2＝vt＝v2μg.(3)小木块获得的动能Ek＝12mv2或由动能定理得：μgms1＝Ek，故Ek＝12mv2.(4)产生的内能Q＝μmg(s2－s1)＝12mv2.(5)由能的转化与守恒定律得，电动机为运送木块所额外输出的能量转化为小木块的动能与木块和传送带的内能，所以E总＝Ek＋Q＝mv2.[答案](1)v22μg(2)v2μg(3)12mv2(4)12mv2(5)mv2