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第四章机械能和能源第4节动能动能定理第四章机械能和能源1．明确动能的表达式及含义．2．能理解和推导动能定理．(重点)3．掌握动能定理及其应用．(重点＋难点)一、动能1．定义：物体由于______而具有的能量．2．表达式：Ek＝________．3．单位：与功的单位相同，国际单位为______．1J＝1N·m＝1kg·m2/s2．4．标量：没有方向．Ek≥0，即动能总为非负值．运动12mv2焦耳二、合外力做功和物体动能的变化1．理论推导：如图所示，质量为m的物体在沿运动方向的合外力作用下发生位移x，速度由v1增大到v2，则W＝Fx＝________＝mv22－v212＝12mv22－12mv21．即W＝ΔEk．max2．实验验证(1)实验装置：应用必修1中“探究a与F、m之间的定量关系”的实验装置，如图所示．(2)实验原理：从打出的纸带及拉力F与小车质量的数据进行分析，利用纸带测量数据，计算小车打下各计数点时的__________，进而验证小车运动到打下各计数点过程中合外力对它做的功W与动能增加量ΔEk的相等关系．(3)实验结论：W＝ΔEk．瞬时速度3．动能定理(1)内容：合外力所做的功等于物体动能的变化．(2)表达式：①W＝ΔEk＝________________．②W＝12mv22－12mv21．Ek2－Ek1说明：a．式中W为合力所做的功，它等于各力做功的代数和．b．如果外力做正功，物体的动能增加，外力做负功，物体的动能减少．(3)适用范围：不仅适用恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况．一个物体如果在运动过程中，其动能保持不变，则这个物体一定做匀速直线运动吗？提示：由Ek＝12mv2可知，物体的动能保持不变，只能说12mv2的大小不变，其中物体运动的速度方向有可能是变化的，如物体做匀速圆周运动时，其运动的动能也是不变的．对动能定理的理解1．相似关系对比W合＝Ek2－Ek1W重(弹)＝Ep1－Ep2物理意义合外力做功与物体动能变化的关系重力(弹力)做功与重力(弹性)势能变化的关系W合＝Ek2－Ek1W重(弹)＝Ep1－Ep2等号左边意义合外力做的功重力(弹力)做的功等号右边意义动能的增量重力(弹性)势能的减少量功能关系实质合外力做功引起的是物体动能的变化，重力做功引起的是重力势能的变化，功是能量转化的量度2．应用动能定理解题的步骤(1)确定研究对象和研究过程．(2)对研究对象进行受力分析．(3)写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)．如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功．(4)写出物体的初、末动能．(5)按照动能定理列式求解．3．应用动能定理的优越性功的计算公式W＝Fxcosα只能求恒力做的功，不能求变力的功，而由于动能定理提供了一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体所做功具有等量代换关系，因此已知(或求出)物体的动能变化ΔEk＝Ek2－Ek1，就可以间接求得变力做功．W为合力的功或各个外力做功的代数和，有正、负之分，注意ΔEk＝Ek末－Ek初，顺序不可颠倒．一个物体放在光滑的水平地面上，现用水平力F拉着物体由静止开始运动，当经过位移x1时，速度达到v，随后又经过位移x2时，速度达到2v．那么，在x1和x2两段路程中F对物体做的功之比为()A．1∶2B．2∶1C．1∶3D．1∶4[解析]物体在前进x1的过程中，对物体受力分析可得，只有拉力F对物体做功由动能定理得W1＝Fx1＝12mv2物体在前进x2的过程中，对物体受力分析可得，只有拉力F对物体做功由动能定理得W2＝Fx2＝12m(2v)2－12mv2联立上面两式可得，在两个过程中力F做的功之比为W1W2＝13．[答案]C本题中的合外力为恒力，还可用牛顿运动定律求解，但在变力作用的情况下，牛顿运动定律就不能使用了，而动能定理仍可使用．如图所示，质量为m的物体被细绳牵引着在光滑水平板上做匀速圆周运动，拉力为F时，转动半径为r，当拉力增大到8F时，物体做匀速圆周运动的半径为r2，则外力对物体所做的功为多少？解析：设物体做匀速圆周运动半径为r和r2时的线速度分别为v1和v2则由题意得F＝mv21r，Ek1＝12mv21＝12Fr8F＝mv22r2，Ek2＝12mv22＝2Fr由动能定理，外力对物体所做的功W＝ΔEk＝Ek2－Ek1＝2Fr－12Fr＝32Fr．答案：32Fr动能定理在多过程或多个物体问题中的应用1．动能定理在多过程问题中的应用(1)对于多个物理过程要仔细分析，将复杂的过程分割成一个一个子过程，分别对每个过程分析，得出每个过程遵循的规律，当每个过程都可以运用动能定理时，可以选择分段或全程应用动能定理更简单、方便．(2)应用全程法解题求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待，弄清楚物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，正确写出总功．2．动能定理在两个(或多个)相互关联的物体系统中的应用(1)从严格意义上讲课本上讲的动能定理是质点的动能定理，即质点动能的增量等于作用于质点的合外力所做的功．对于由相互作用的若干质点组成的系统，动能的增量在数值上等于一切外力所做的功与一切内力所做功的代数和，称为系统动能定理．(2)由于作用力与反作用力的功的代数和不一定等于零，所以对于系统只考虑外力做功而应用动能定理很可能要犯错，所以往往把系统内各质点隔离分析，分别应用动能定理比较合适．(1)应用动能定理最大的优势在于不要求深入研究过程变化的细节，对不涉及物体运动过程中的加速度和时间问题的，无论恒力做功还是变力做功，一般用动能定理求解．(2)应用动能定理求力对物体做功时，位移应是物体相对地面的位移，而动能Ek＝12mv2中“v”应是物体对地的速度．如图所示，ABCD为一竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10m，BC长1m，AB和CD轨道光滑．一质量为1kg的物体，从A点以4m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10．3m的D点速度为0．求：(g取10m/s2)(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；(2)物体第5次经过B点时的速度大小；(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)．[解析](1)由动能定理得－mg(h－H)－μmgsBC＝0－12mv21，解得μ＝0．5．(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理得mgH－μmg4sBC＝12mv22－12mv21，解得v2＝411m/s≈13．3m/s．(3)分析整个过程，由动能定理得mgH－μmgs＝0－12mv21，解得s＝21．6m．所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1．6m，故距B点的距离为2m－1．6m＝0．4m．[答案](1)0．5(2)13．3m/s(3)距B点0．4m对这种多过程问题，可以分段利用动能定理求解，也可以对全过程利用动能定理求解，解题时可根据具体情况选择使用．【通关练习】1．(多选)如图所示，一质量m＝0．75kg的小球在距地面高h＝10m处由静止释放，落到地面后反弹，碰撞时无能量损失．若小球运动过程中受到的空气阻力f的大小恒为2．5N，g＝10m/s2．下列说法正确的是()A．小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度为5mB．小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度为3．3mC．小球在空中运动的总路程为30mD．小球在空中运动的总路程为28．75m解析：选AC．设小球与地面第一次碰撞后向上运动的高度为h2，从静止释放到第一次碰撞后运动到高度h2的过程中，由动能定理有mg(h－h2)－f(h＋h2)＝0，解得：h2＝mg－fmg＋fh＝5m，选项A正确；对小球运动的全过程，由动能定理可得，mgh－fs总＝0，解得s总＝mghf＝30m，选项C正确．2．如图所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径R为2．0m，一个物体在距弧底E高度为h＝3．0m处，以初速度4．0m/s沿斜面运动．若物体与两斜面的动摩擦因数为0．02，则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一共能走多长路程？(g取10m/s2)解析：斜面的倾角为θ＝60°，由于物体在斜面上所受到的滑动摩擦力小于重力沿斜面的分力(μmgcos60°＜mgsin60°)，所以物体不能停留在斜面上．物体在斜面上滑动时，由于摩擦力做功，物体滑到斜面上的高度逐渐降低，直到物体再也滑不到斜面上为止，最终物体将在B、C间往复运动．设物体在斜面上运动的总路程为s，则摩擦力所做的总功为－μmgscos60°，末状态选为B(或C)，此时物体速度为零，对全过程由动能定理得mgh－R（1－cos60°）－μmgscos60°＝0－12mv20物体在斜面上通过的总路程为s＝2gh－12R＋v20μg＝280m．答案：280m动能定理与牛顿运动定律的比较牛顿运动定律动能定理相同点确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析适用条件只能研究在恒力作用下物体做直线运动对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线或曲线运动均适用牛顿运动定律动能定理应用方法要考虑运动过程的每一个细节，结合运动学公式解题只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能运算方法矢量运算代数运算两种思路对比可以看出应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单不易出错．冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目，比赛场地示意图如图所示．比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O．为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小．设冰壶与冰面间的动摩擦因数为μ1＝0．008，用毛刷擦冰面后动摩擦因数减少至μ2＝0．004．在某次比赛中，运动员使冰壶在投掷线中点处以2m/s的速度沿虚线滑出．为使冰壶能够沿虚线恰好到达圆心O点，运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少？(g取10m/s2)[解析]法一：运用动能定理求解设冰壶在未被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为x1，所受摩擦力的大小为f1；在被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为x2，所受摩擦力的大小为f2．则有x1＋x2＝x式中x为投掷线到圆心O的距离．f1＝μ1mgf2＝μ2mg设冰壶的初速度为v0，由动能定理得－f1·x1－f2·x2＝0－12mv20联立以上各式，解得x2＝2μ1gx－v202g（μ1－μ2）＝2×0.008×10×30－222×10×（0.008－0.004）m＝10m法二：运用牛顿运动定律求解设冰壶在未被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为x1，所受摩擦力的大小为f1，此段冰壶运动的加速度为a1，此时到达C点，速度为vC．则由牛顿第二定律知f1＝μ1mg①f1＝ma1a1＝μ1g＝0．08m/s2②v2C－v20＝－2a1x1③冰壶在被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为x2＝x－x1，所受摩擦力为f2，运动的加速度为a2，则f2＝μ2mg④f2＝ma2a2＝μ2g＝0．04m/s2⑤0－v2C＝－2a2(x－x1)⑥将③⑥联立得x1＝v20－2a2x2a1－2a2＝22－2×0.04×302×（0.08－0.04）m＝20m．则x2＝x－x1＝30m－20m＝10m．[答案]10m动能定理、牛顿运动定律与运动学公式相结合是解决力学问题的两种重要方法，有的问题既能用牛顿运动定律与运动学公式相结合的方法解决也能用动能定理解决．(1)通常情况下，某问题若涉及时间或过程的细节，要用牛顿运动定律与运动学公式相结合的方法去解决；(2)某问题若不考虑具体细节、状态或时间，一般要用动能定理去解决．近来，我国多个城市开始重点治理“中国式过马路”行为．每年全国由于行人不遵守交通规则而引发的交通事故上万起，死亡上千人．只有科学设置交通管制，人人遵守交通规则，才能保证行人的生命安全．如图所示，停车线AB与前方斑马线边界CD间的距离为23m．质量8t、车长7m的卡车以54km/h的速度向北匀速行驶，当车前端刚驶过停车线AB，该车前方的机动车交通信号灯由绿灯变黄灯．