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第四章机械能和能源第2节功率第四章机械能和能源1．理解功率的概念，并灵活应用功率的计算公式P＝Wt计算平均功率．(重点)2．正确理解公式P＝Fvcosα的意义，并能进行计算和解释有关现象．3．正确区分平均功率和瞬时功率所表示的物理意义，并能够利用相关公式计算平均功率和瞬时功率．(重点＋难点)一、功率的含义1．定义：力对物体所做的功W与做功所用时间t的______．2．定义式：P＝_______．比值Wt3．单位：在国际单位制中，功率的单位是______，简称瓦，用W表示．4．物理意义：功率是___量，它是表示物体__________的物理量．5．额定功率和实际功率(1)额定功率是指机器________正常工作允许的功率．(2)实际运行的功率可以____________额定功率，但在特殊情况下，如汽车越过障碍时，可以使实际功率在短时间内大于额定功率．瓦特标做功快慢长时间小于或等于二、功率、力和速度之间的关系1．功率与速度的关系：P＝______．2．在P＝Fv中，若v是物体的平均速度，则P表示时间t内的__________；若v是瞬时速度，则P表示该时刻的__________．3．汽车上坡时，司机换用低速挡，加大油门，可以得到较大的动力．Fv平均功率瞬时功率功率越大，做功一定越多吗？提示：功率表示做功的快慢，功率大表示做功快，不一定做功多．因为做功的多少，还与时间长短有关．对平均功率、瞬时功率及P＝Fv的理解1．平均功率与瞬时功率的比较比较项目定义公式平均功率在一段时间内或某一过程中做功的快慢P＝Wt或P＝Fv瞬时功率物体在某一时刻或某一位置时做功的快慢P＝Fv，v为某时刻的速度2．对P＝Fv的理解(1)公式P＝Fv中的力F与速度v应共线，若不共线，F与v的夹角为θ，则P＝Fvcosθ．(2)用此式计算功率时要明确是哪个力的功率，还是物体所受合力的功率，汽车的功率是指汽车牵引力的功率，起重机吊起货物的功率就是钢丝拉力的功率．3．P＝Fv中三个量的制约关系定值各量间的关系应用P一定F与v成反比汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度v一定F与P成正比汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力F一定v与P成正比汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度(1)若求平均功率，还需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝Fv或P＝Wt来计算．(2)若求瞬时功率，需明确是哪一时刻或哪一位置的瞬时功率，再确定该时刻或该位置的速度，应用公式P＝Fv来计算．如果F、v不同向，则投影到相同方向再计算．命题视角1对功率的理解(多选)关于力对物体做功的功率，下面几种说法中正确的是()A．力对物体做功越多，这个力的功率就越大B．力对物体做功的时间越短，这个力的功率就越大C．力对物体做功少，其功率也可能很大；力对物体做功多，其功率也可能较小D．功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功多少的物理量[解析]功率P＝Wt，表示单位时间内所做的功．当t一定时，W越大，P越大；当W一定时，t越小，P越大，单纯只强调两个因素中的一个，而不说明另一个因素情况的说法是错误的，故A、B错误；如果W小，但当t很小时，P也可能很大；如果W较大，但t很大时，P也可能较小，所以C正确；由P＝Wt可知P是表示做功快慢的物理量，P越大反映的是单位时间内做功越多，也就是做功越快，D正确．[答案]CD命题视角2对平均功率与瞬时功率的求解(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则()A．3t0时刻的瞬时功率为5F20t0B．3t0时刻的瞬时功率为15F20t0mC．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为23F20t04mD．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为25F20t06m[思路点拨]解答本题时应注意以下两点：(1)3t0时刻的功率是瞬时功率，可直接用公式P＝Fv计算；(2)0～3t0时间段内的功率是平均功率，而此过程中又是变力做功，故只能用功率的定义式P＝Wt计算．[解析]0～2t0时间内，物体的加速度a1＝F0m，位移x1＝12a1(2t0)2＝2F0t20m，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝2F0t0m；2t0～3t0时间内，物体的加速度a2＝3F0m，位移x2＝v1t0＋12a2t20＝7F0t202m，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝5F0t0m．所以3t0时刻的瞬时功率P＝3F0v2＝15F20t0m，选项A错误，B正确；0～3t0时间内的平均功率P－＝Wt＝F0x1＋3F0x23t0＝25F20t06m，选项C错误，D正确．[答案]BD求解平均功率与瞬时功率时要注意的问题(1)弄清所求的功率是瞬时功率还是平均功率；(2)明确所求的是哪个力的功率，是某个力的功率还是合力的功率；(3)求平均功率时，需明确所求的是哪段时间的平均功率，然后用公式P＝Wt计算．若恒力做功时平均功率还可用P－＝Fv－cosα来计算，若求瞬时功率，则只能用P＝Fvcosα求解．【通关练习】1．质量为m的物体从静止开始下落，不计空气阻力，关于物体在下落时间t内重力对物体做功的平均功率P，t时刻重力的瞬时功率P，有()A．P－＝12mg2t，P＝mg2tB．P－＝mg2t，P＝12mg2tC．P－＝mg2t，P＝mg2tD．P－＝12mg2t，P＝12mg2t解析：选A．物体自由下落，经时间t，物体的位移为h＝12gt2，重力做功的平均功率为P－＝Wt＝mght＝12mg2t，t时刻物体的速度为v＝gt，在t时刻重力对物体做功的瞬时功率为P＝mgv＝mg2t，故A正确．2．如图所示，质量为m＝2kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0．5，已知：sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，g取10m/s2，求：(1)前2s内重力做的功；(2)前2s内重力的平均功率；(3)2s末重力的瞬时功率．解析：(1)木块所受的合外力F合＝mgsinθ－μmgcosθ＝mg(sinθ－μcosθ)＝2×10×(0．6－0．5×0．8)N＝4N．木块的加速度a＝F合m＝42m/s2＝2m/s2．前2s内木块的位移x＝12at2＝12×2×22m＝4m．所以，重力在前2s内做的功为W＝mgxsinθ＝2×10×4×0．6J＝48J．(2)重力在前2s内的平均功率为P－＝Wt＝482W＝24W．(3)木块在2s末的速度v＝at＝2×2m/s＝4m/s．2s末重力的瞬时功率P＝mgvsinθ＝2×10×4×0．6W＝48W．答案：(1)48J(2)24W(3)48W机车启动问题1．恒定功率启动过程(P不变)所以机车达到最大速度时a＝0，F＝f，P＝Fvm＝fvm，故vm＝Pf．这一启动过程的运动性质为加速度减小的加速直线运动，v－t关系如图所示．2．匀加速启动过程(a不变)汽车先以恒定的加速度启动，达到额定功率P额后再以恒定功率运动，因此启动过程分为两个阶段：匀加速⇒额定功率过程①变加速（a↓）⇒匀速（a＝0）过程②这一启动过程的v－t图像如图所示．(1)在P＝Fv中因为P为机车牵引力的功率，所以对应的F是牵引力，并非合力．(2)只有最终匀速运动时有F＝f，vm＝P额F＝P额f．命题视角1机车以恒定功率启动过程的分析质量为m＝5×103kg的汽车在水平公路上行驶，阻力是车重的0．1倍．让车保持额定功率为60kW，从静止开始行驶，求：(g取10m/s2)(1)汽车达到的最大速度vm；(2)汽车车速v1＝2m/s时的加速度大小．[思路点拨]汽车的功率即为牵引力的功率，则P＝Fv，当F＝f时，速度为vm；当汽车以额定功率启动时P＝P0不变，可由F＝P0v求解不同速度对应的牵引力．[解析](1)由P＝Fv＝fvm得vm＝Pf＝P0.1mg＝60×1030.1×5×103×10m/s＝12m/s．(2)由P＝Fv得F＝Pv，当v1＝2m/s时，F1＝Pv1＝60×1032N＝3×104N由牛顿第二定律得F1－f＝ma，所以a＝F1－0.1mgm＝3×104－0.1×5×103×105×103m/s2＝5m/s2．[答案](1)12m/s(2)5m/s2命题视角2机车以恒定加速度启动过程的分析在水平路面上运动的汽车的额定功率为100kW，质量为10t，设阻力恒定，且为车重的110，求：(g取10m/s2)(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度为多大？(2)若汽车以0．5m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？(3)若汽车以额定功率从静止启动后，当汽车的加速度为2m/s2时，速度多大？[思路点拨]汽车以恒定功率启动，速度增大，牵引力减小，做加速度逐渐减小的加速运动，直到牵引力等于阻力为止；汽车以恒定加速度启动，牵引力和阻力恒定，随着速度增加，它的实际功率逐渐增大，直到Fv等于额定功率为止．[解析](1)当汽车速度最大时，a1＝0，F1＝f，P＝P额故vmax＝P额f＝100×103110×10×103×10m/s＝10m/s．(2)汽车从静止开始做匀加速直线运动的过程中，a2不变，v变大，P也变大，当P＝P额时，此过程结束．F2＝f＋ma2＝110×104×10＋104×0.5N＝1．5×104Nv2＝P额F2＝1051.5×104m/s≈6．7m/s则t＝v2a2＝6.70.5s＝13．4s．(3)F3＝f＋ma3＝110×104×10＋104×2N＝3×104Nv3＝P额F3＝1053×104m/s≈3．3m/s．[答案](1)10m/s(2)13．4s(3)3．3m/s机车启动问题的求解方法(1)机车的最大速度vmax的求法机车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力f，故vmax＝PF＝Pf．(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法牵引力F＝ma＋f，匀加速运动的最大速度v′max＝P额ma＋f，时间t＝v′maxa．(3)瞬时加速度a的求法根据F＝Pv求出牵引力，则加速度a＝F－fm．【通关练习】1．一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是()ABCD解析：选A．由P－t图像知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝F－fm知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，选项A正确．2．一辆重5t的汽车，发动机的额定功率为80kW．汽车从静止开始以加速度a＝1m/s2做匀加速直线运动，车受的阻力为车重的0．06倍．(g取10m/s2)求：(1)汽车做匀加速直线运动的最长时间；(2)汽车开始运动后，5s末和15s末的瞬时功率．解析：(1)设汽车匀加速运动所能达到的最大速度为v0，对汽车由牛顿第二定律得F－f＝ma即P额v0－kmg＝ma，代入数据得v0＝10m/s所以汽车做匀加速直线运动的时间t0＝v0a＝101s＝10s．(2)由于10s末汽车达到了额定功率，5s末汽车还处于匀加速运动阶段，P＝Fv＝(f＋ma)at＝(0．06×5×103×10＋5×103×1)×1×5W＝40kW．15s末汽车已经达到了额定功率P额＝80kW．答案：(1)10s(2)40kW80kW