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第十二章机械波第3节波长、频率和波速第十二章机械波1.理解波长的含义，能从波的图象中求出波长．2.知道波传播的周期和频率，理解波的周期或频率与质点振动周期和频率的关系．3.会用公式v＝λf解答实际的波动问题．4.掌握波在传播过程中的周期性和双向性．一、波长、周期和频率1．波长λ(1)定义：在波动中，振动相位总是相同的两个______质点间的距离．(2)特征①在横波中，两个相邻______或两个相邻______之间的距离等于波长．②在纵波中，两个相邻______或两个相邻______之间的距离等于波长．相邻波峰波谷密部疏部2．周期T、频率f(1)周期(频率)：在波动中，各个质点的____________________叫波的周期(或频率)．(2)周期T和频率f的关系：互为______，即f＝___________．(3)波长与周期的关系：经过__________，振动在介质中传播的距离等于一个波长．振动周期(或频率)倒数1T一个周期二、波速1．定义：波速是指波在________传播的速度．2．特点(1)机械波在介质中的传播速度是由介质本身的性质决定的，不同频率的机械波在相同的介质中传播速度______．(2)某种机械波从一种介质进入另一种介质，频率______，波速______．3．波长、频率和波速之间的关系：v＝_______＝λf.介质中相等不变改变λT判一判(1)两个波峰(或波谷)之间的距离为一个波长．()(2)两个密部(或疏部)之间的距离为一个波长．()(3)振动在介质中传播一个波长的时间是一个周期．()××√想一想有人认为：“由公式v＝λf知，波的频率越高，波速越大．”这种说法正确吗？提示：不正确．机械波的传播速度只与介质本身的性质和温度有关，与波的频率无关．对波长的理解1．波长的确定(1)根据定义确定①在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离等于一个波长；②波在一个周期内传播的距离等于一个波长．(2)根据波动图象确定①在波动图象上，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长；②在波动图象上，运动状态(速度)总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长；③在波动图象上，两个相邻波峰(或波谷)间的距离为一个波长．(3)根据公式λ＝vT来确定．2．波长与周期的关系：质点完成一次全振动，波向前传播一个波长，即波在一个周期内向前传播一个波长．可推知，质点振动14周期，波向前传播14波长；反之，相隔14波长的两质点的振动的时间间隔是14周期．并可依此类推．(1)一列横波沿绳传播，M、N是绳上相距2.5m的两点，当第一个波峰到达M点时开始计时，在14s末时第八个波峰恰好到达M点，这时第三个波峰到达N点，求该波的波长．(2)一列横波沿直线传播，直线上有A、B两点，相距1.8m，在t＝0时刻，波传到质点A，A开始振动起来，在t＝3s时刻，质点A第一次到达波峰，这时波刚好传到B，这列波的波长为多少？[思路点拨]由波长的意义来判断．[解析](1)当第一个波峰到达M点时开始计时，第八个波峰传到M点时，M点已发生了7次全振动，在这段时间内N点完成了2次全振动，显然，N点比M点少发生7－2＝5次全振动．因此，M、N之间的距离为5个波长．故有5λ＝2.5m，得λ＝0.5m.(2)A质点可能开始向下运动，则到达波峰需3T4，也可能开始向上运动，到达波峰需T4.在这段时间内波由A传到B，则A、B间距离可能是34λ或λ4，即有34λ＝1.8m，λ＝2.4m或λ4＝1.8m，λ＝7.2m.[答案](1)0.5m(2)2.4m或7.2m求波长的方法(1)相邻两个振动状态完全相同，质点间距为一个波长；相邻两个振动状态完全相反，质点之间距离为半波长．(2)相邻两波峰之间距离或相邻两波谷之间的距离均为一个波长．(3)根据公式v＝ΔxΔt＝λT＝λf，得λ＝vT＝vf.(2017·高考天津卷)手持较长软绳端点O以周期T在竖直方向上做简谐运动，带动绳上的其他质点振动形成简谐波沿绳水平传播，示意如图．绳上有另一质点P，且O、P的平衡位置间距为L.t＝0时，O位于最高点，P的位移恰好为零，速度方向竖直向上，下列判断正确的是()A．该简谐波是纵波B．该简谐波的最大波长为2LC．t＝T8时，P在平衡位置上方D．t＝3T8时，P的速度方向竖直向上解析：选C.振动方向与传播方向垂直，故该简谐波是横波，A错误；根据“下坡上”判断，P距离O的最近距离L＝14λ，所以最大波长等于4L，B错误；经过14T，P位于波峰，所以18T时，P在平衡位置上方，C正确；在38T时，P正在从波峰回到平衡位置，速度方向竖直向下，D错误．对波速和波速公式的理解1．波速的决定因素(1)机械波的波速只与传播介质的性质有关．同一列波在不同介质中传播速度不同；不同频率的同种机械波在同一介质中传播速度相等．(2)波在同一均匀介质中是匀速传播的．它向外传播的是振动的形式，而不是将质点向外迁移．质点的振动是一种变加速运动，因此质点的振动速度时刻在变．2．波速公式的理解决定因素关系周期和频率取决于波源，而与v、λ无关v＝λf或v＝λ/T波速取决于介质本身的性质，它与T、λ无关波长由波源和介质共同决定，只要T、v有一个变化，波长一定变化(1)波的频率(或周期)由波源决定，波由一种介质进入另一种介质时波的频率(或周期)不发生变化．(2)每隔n个波长的距离，波形重复出现；每隔n个周期，波形恢复原来的形状，这就是波的“空间周期性”和“时间周期性”．(3)关系v＝λT和v＝λf不仅对机械波适用，对将来要学习的电磁波及光波也适用．(4)波速的计算既可以用v＝xt求，也可以根据v＝λT或v＝λf求．命题视角1波长、频率和波速的关系及决定因素(多选)下列关于机械波的公式v＝λf的说法中正确的是()A．v＝λf适用于一切波B．由v＝λf知，f增大，则波速v也增大C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有fD．由v＝λf知，波长为4m的声波的传播速度是波长为2m的声波的2倍[解析]公式v＝λf适用于一切波，包含机械波和电磁波，选项A正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率f和波长λ无关，选项B、D错误；对同一列波，其频率由振源决定，与介质无关，选项C正确．[答案]AC尽管波速与频率(或周期)可以由公式v＝λf或v＝λT进行计算，但不能认为波速会因波长、频率(或周期)的不同而不同，也不能认为周期(或频率)会因波速、波长的不同而不同，因为波速和频率都是确定的，分别决定于介质和波源．命题视角2波速公式的应用图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，a、b两质点的横坐标分别为xa＝2m和xb＝6m，图乙为质点b从该时刻开始计时的振动图象．下列说法正确的是()A．该波沿＋x方向传播，波速为1m/sB．质点a经4s振动的路程为4mC．此时刻质点a的速度沿＋y方向D．质点a在t＝2s时速度为零[解题探究](1)t＝0时刻，b点的振动方向为________，根据振动和传播方向关系可判断波的传播方向为________．(2)由y－x图象知λ＝________m，由y－t图象知T＝________，则波速为________．(3)xb－xa＝________λ，两者振动相位关系为________．[解析]由题图乙可知，简谐横波的周期T＝8s，且t＝0时质点b沿＋y方向运动，根据振动和波动的关系，波沿－x方向传播，质点a沿－y方向运动，选项A、C错误；质点a经过4s振动的路程s＝tT·4A＝1m，选项B错误；质点a在t＝2s时，处于负向最大位移处，速度为零，选项D正确．[答案]D用v＝λT求波速时可以从波的图象上获得波长信息，可以从振动图象、简谐运动表达式或质点振动情况等信息中求周期T.【通关练习】1．一简谐横波在图中沿x轴传播，实线和虚线分别是t1和t2时刻的波形图，已知t2－t1＝1.0s．由图判断下列哪一个波速是不可能的()A．1m/sB．3m/sC．5m/sD．10m/s解析：选D.由波形图得波长λ＝4m，若波沿x轴正方向传播，则传播的距离Δx＝λ4＋nλ＝1＋4n，波速v＝ΔxΔt＝1＋4n1.0m/s.将选项A、B、C、D中的v代入解得n分别为0、12、1、94，由于n只能是正整数，可见v＝3m/s和v＝10m/s是不可能的；若波沿x轴负方向传播，则传播的距离Δx′＝3λ4＋nλ＝3＋4n，波速v′＝Δx′Δt＝3＋4n1.0m/s，将选项A、B、C、D中的v代入解得n分别为－12、0、12、74，v＝3m/s是可能的，无论波沿x轴正或负方向传播，v＝10m/s都是不可能的，所以选项D符合题意．2．(多选)(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5s时的波形图．已知该简谐波的周期大于0.5s．关于该简谐波，下列说法正确的是()A．波长为2mB．波速为6m/sC．频率为1.5HzD．t＝1s时，x＝1m处的质点处于波峰E．t＝2s时，x＝2m处的质点经过平衡位置解析：选BCE.由图象可知简谐横波的波长为λ＝4m，A项错误；波沿x轴正向传播，t＝0.5s＝34T，可得周期T＝23s、频率f＝1T＝1.5Hz，波速v＝λT＝6m/s，B、C项正确；t＝0时刻，x＝1m处的质点在波峰，经过1s＝32T，一定在波谷，D项错误；t＝0时刻，x＝2m处的质点在平衡位置，经过2s＝3T，质点一定经过平衡位置，E项正确．波形图的画法1．平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向，平移Δx.如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx′，由于波形图的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可．平移波形后图象前部分出现“残缺”，一定要注意把图象补画完整．2．特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正、余弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt′，由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt′时刻的波形图．特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt′必须为14T的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形．特殊点法画波形图较为简单易行．如图所示，图甲为某波在t＝1.0s时的图象，图乙为参与该波动P质点的振动图象．(1)求该波的波速；(2)画出Δt＝3.5s时的波形．[解析](1)由题图甲得波长λ＝4m，由题图乙得周期T＝1.0s，所以波速v＝λT＝4m/s.(2)法一：平移法由题图乙可知1.0s时质点P向－y方向振动，所以题图甲中的波沿x轴向左传播，传播距离Δx＝vΔt＝4×3.5m＝14m＝(3＋1/2)λ，所以只需将波形沿x轴负向平移12λ＝2m即可，如图1所示．法二：特殊点法如图2所示，在图中取两特殊质点a、b，因Δt＝3.5s＝312T，舍弃3，取T2，找出a、b两质点振动T2后的位置a′、b′，过a′、b′画出正弦曲线即可．[答案](1)4m/s(2)见解析如图所示是一列简谐横波在某时刻的波形图，若每隔0.2s，波沿x轴正方向推进0.8m，试画出此后17s时的波形图．解析：由题意知，波速v＝0.80.2m/s＝4m/s.由题图知，波长λ＝8m，则周期T＝λv＝84s＝2s，17s内的周期数n＝ΔtT＝812，根据波动的时间与空间的周期性，将波向x轴正方向平移12λ即可，如图中虚线所示．答案：见解析波的多解问题1．周期性造成多解(1)时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．(2)空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确．2．双向性造成多解(1)波的传播方向不确定．(2)质点振动方向不确定．3．波形的隐含条件形成多解：一般由两质点的位置和波的传播方向或质点的运动情况作出两质点间可能的波形图，但许多波动习题往往只给出波形的一部分或给出几个特殊的点，而其余部分处于隐含状态．这样，就有多个图形与之对应，从而形成多解．一列简谐横波在x轴上传播，在t1＝0和t2＝0.05s时，其波形分别用如图所示的实线和虚线表示，求：(1)