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第6节带电粒子在匀强磁场中的运动第三章磁场1.知道带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的条件，并会推导半径公式和周期公式．(重点)2.能熟练应用半径公式和周期公式解决力、电综合问题．(重点＋难点)3.了解质谱仪、电磁流量计和回旋加速器的工作原理．第三章磁场【基础梳理】一、带电粒子在匀强磁场中的运动1．洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力不改变带电粒子速度的______，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．(2)洛伦兹力方向总与速度方向______，正好起到了向心力的作用．大小垂直2．带电粒子在匀强磁场中的运动(1)运动特点：沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做____________运动．(2)半径和周期公式：质量为m，带电荷量为q，速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝mv2r，可得半径公式r＝______，再由T＝2πrv得周期公式T＝2πmqB，由此可知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟速率v和半径r______．匀速圆周mvqB无关二、质谱仪1．原理：如图所示．2．加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：______＝12mv2.qU3．偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：______＝mv2r.4．结论：由以上两式可以求出粒子的半径r、质量m、比荷qm等．其中由r＝1B2mUq可知电荷量相同时，半径将随______变化．5．质谱仪的应用：可以测定带电粒子的质量和分析________．qvB质量同位素三、回旋加速器1．构造图(如图)2．工作原理(1)电场的特点及作用特点：两个D形盒之间的窄缝区域存在____________的电场．作用：带电粒子经过该区域时被______．(2)磁场的特点及作用特点：D形盒处于与盒面垂直的______磁场中．作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做____________运动，从而改变运动方向，______周期后再次进入电场．周期性变化加速匀强匀速圆周半个【自我检测】判断正误(1)带电粒子在磁场中运动时，它所受的洛伦兹力的方向总与速度方向垂直，所以洛伦兹力对带电粒子不做功，粒子的动能不变，速度不变．()(2)只有当带电粒子以垂直于磁场的方向射入匀强磁场中时，带电粒子才能做匀速圆周运动，两个条件缺一不可．()(3)在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，洛伦兹力提供向心力，它的轨道半径跟粒子的运动速率成正比．()(4)带电粒子在匀强磁场中的转动周期T与带电粒子的质量和电荷量有关，与磁场的磁感应强度有关，而与轨道半径和运动速率无关．()(5)回旋加速器用磁场控制轨道，用电场进行多次加速，交流电源的周期等于带电粒子在磁场中运动的周期．()提示：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√探究思考在如图所示的质谱仪中(1)粒子在S1区做什么运动？提示：初速度为0的匀加速直线运动．(2)粒子在S2区做何种运动？提示：匀速直线运动．(3)粒子进入磁场时的速率？提示：v＝EB0.(4)粒子在磁场中运动的轨道半径？提示：r＝mvqB＝mEqBB0.带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．做匀速圆周运动时的半径和周期质量为m、带电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝mv2r，可得半径公式r＝mvqB，再由T＝2πrv得周期公式T＝2πmqB.2．圆心、半径、运动时间的分析思路(1)圆心的确定：带电粒子垂直进入匀强磁场后，一定做圆周运动，其速度方向一定沿圆周的切线方向，因此圆心的位置必是两速度方向垂线的交点，如图(a)所示，或某一速度方向的垂线与圆周上两点连线中垂线的交点，如图(b)所示．(2)运动半径大小的确定：一般先作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，然后利用三角函数求解出半径的大小．(3)运动时间的确定：首先利用周期公式T＝2πmqB，求出运动周期T，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角α，其运动时间t＝α2πT.(4)圆心角的确定①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向间的夹角φ叫偏向角．偏向角等于圆心角即φ＝α，如图所示．②某段圆弧所对应的圆心角是这段圆弧弦切角的二倍，即α＝2θ.带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时的运动轨迹：(1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动．(2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动．(3)当带电粒子斜射入磁场时，带电粒子将沿螺旋线运动．命题视角1半径、周期公式的应用两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的()A．轨道半径减小，角速度增大B．轨道半径减小，角速度减小C．轨道半径增大，角速度增大D．轨道半径增大，角速度减小[思路点拨]先明确带电粒子进入另一磁场后速率保持不变，再利用轨道半径公式和周期公式分析问题．[解析]分析轨道半径：带电粒子从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的速度v大小不变，磁感应强度B减小，由公式r＝mvqB可知，轨道半径增大．分析角速度：由公式T＝2πmqB可知，粒子在磁场中运动的周期增大，根据ω＝2πT知角速度减小．选项D正确．[答案]D命题视角2带电粒子在单边有界磁场的运动问题如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场，一电子(质量为m、电荷量为e)以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：(1)电子从磁场中射出时距O点多远？(2)电子在磁场中运动的时间是多少？定圆心―→画轨迹―→求半径―→求圆心角[解析]设电子在匀强磁场中运动半径为R，射出时与O点距离为d，运动轨迹如图所示．(1)据牛顿第二定律知：Bev＝mv2R由几何关系可得，d＝2Rsin30°解得：d＝mvBe.(2)电子在磁场中转过的角度为θ＝60°＝π3，又周期T＝2πmBe因此运动时间：t＝θT2π＝π32π·2πmBe＝πm3Be.[答案](1)mvBe(2)πm3Be命题视角3带电粒子在平行边界磁场的运动问题如图所示，带负电的粒子沿垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，带电粒子质量m＝3×10－20kg，电荷量q＝10－13C，速度v0＝105m/s，磁场区域的半径R＝3×10－1m，不计粒子的重力，求磁场的磁感应强度B.[解析]画进、出磁场速度方向的垂线得交点O′，O′点即为粒子做圆周运动的圆心，据此作出运动轨迹AB︵，如图所示，设此圆半径记为r，则O′AOA＝tan60°，所以r＝3R.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝mv20r，所以B＝mv0qr＝3×10－20×10510－13×33×10－1T＝33×10－1T.[答案]33×10－1T命题视角4带电粒子在有界磁场中运动的临界问题如图所示，在真空中宽为d的区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、带电荷量为q、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD边夹角为θ，为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，v0满足的条件是什么？(不计重力作用)[解析]当入射速率很小时，电子在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速度越大，轨道半径越大，当轨道与右边界相切时，电子恰好不能从磁场另一边界射出，如图所示，由几何知识可得：r＋rcosθ＝d又ev0B＝mv20r，解得v0＝Bedm（1＋cosθ）所以为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，电子的速度v0＞Bedm（1＋cosθ）.[答案]v0＞Bedm（1＋cosθ）1．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的解题步骤(1)画轨迹：先确定圆心，再画出运动轨迹，然后用几何方法求半径．(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．(3)用规律：用牛顿第二定律列方程qvB＝mv2r，及圆周运动规律的一些基本公式．2．带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形(1)直线边界(进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示)(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)【题组过关】1．(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2∶v1为()A.3∶2B.2∶1C.3∶1D．3∶2解析：选C.由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝mv2R可知，R＝mvqB，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同．若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点A离P点最远时，则AP＝2R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子的磁场出射点B离P点最远时，则BP＝2R2，由几何关系可知，R1＝R2，R2＝Rcos30°＝32R，则v2v1＝R2R1＝3，C项正确．2．(2016·高考全国卷Ⅲ)平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为()A.mv2qBB.3mvqBC.2mvqBD.4mvqB解析：选D.如图所示为粒子在匀强磁场中的运动轨迹示意图，设出射点为P，粒子运动轨迹与ON的交点为Q，粒子入射方向与OM成30°角，则射出磁场时速度方向与OM成30°角，由几何关系可知，PQ⊥ON，故出射点到O点的距离为轨迹圆直径的2倍，即4R，又粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径R＝mvqB，所以D正确．3.(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是()A．使粒子的速度vBql4mB．使粒子的速度v5Bql4mC．使粒子的速度vBqlmD．使粒子的速度Bql4mv5Bql4m解析：选AB.如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r21＝r1－l22＋l2又r1＝mv1Bq，所以v1＝5Bql4m粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝l4＝mv2Bq，v2＝Bql4m综合上述分析可知，选项A、B正确．对质谱仪和回旋加速器的分析1．质谱仪(1)质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具．(2)质谱仪的工作原理是将质量数不等、电荷数相等的不同带电粒子，经同一电场加速后再经速度选择器进入同一磁场偏转，由于粒子质量不同导致轨道半径不同而达到分离不等质量粒子的目的．2．回旋加速器(1)周期：带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝2πmqB.由此看出带电粒子的周期与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场．(2)带电粒子的最终能量：由r＝mvqB得，当带电粒子的速率最大时，其运动半径也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最大动能Ekm＝q2B2R22m.可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径R.(3)带电粒子在回旋加速器内运动的时间因为两个D形盒之间的窄缝很小，所以带电粒子在电场中的加速时间可忽略不计．设带电粒子在磁场中运动的圈数为n，加速电压为U.由于每加速一次带电粒子获得的能量为qU，每转一圈加速两次．结合Ekn＝q2B2r2n2m知，2nqU＝q2B2r2