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第七章机械能守恒定律习题课机械能守恒定律的应用1．机械能守恒的条件：只有重力、系统内弹力做功．2．机械能守恒定律的三种表达式(1)从能量守恒的角度：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2．(2)从能量转化的角度：ΔEk＝－ΔEp．(3)从能量转移的角度：ΔEA＝－ΔEB．多物体系统的机械能守恒问题如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：(1)斜面倾角α；(2)B获得的最大速度v．[思路点拨]求解时首先要深刻挖掘“A刚离开地面时，B获得最大速度”所隐含的条件，即A与地面间无弹力且A、B、C均处于平衡状态，其次根据初状态弹簧的压缩量与末状态弹簧的伸长量相同，从而得到初状态与末状态弹簧弹性势能相同．[解析](1)设当物体A刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xA.对A有：kxA＝mg此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT三个力的作用．设B的加速度为a，根据牛顿第二定律对B有：FT－mg－kxA＝ma对C有：4mgsinα－FT＝4ma当B获得最大速度时，有a＝0由此解得sinα＝0.5，所以α＝30°.(2)开始时弹簧压缩的长度为xB＝mgk，显然xA＝xB当物体A刚离开地面时，B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离为xA＋xB.由于xA＝xB，则弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sinα－mg(xA＋xB)＝12(4m＋m)v2，解得v＝2gm5k.[答案](1)30°(2)2gm5k【通关练习】1．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了3mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析：选B.圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝3L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝3mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．2．(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0．2m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0．1m．两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10m/s2．则下列说法中正确的是()A．下滑的整个过程中A球机械能守恒B．下滑的整个过程中两球及轻杆组成的系统机械能守恒C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2m/sD．系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为23J解析：选BD.下滑过程中小球A、B和轻杆组成的系统机械能守恒，B对，A错；设两球到达光滑水平面上的速度为v，由机械能守恒定律得mAg(Lsin30°＋h)＋mBgh＝12(mA＋mB)v2，代入数据得v＝83m/s，C错；B球的机械能增加量为ΔEB＝12mBv2－mBgh＝12×2×832－2×10×0.1J＝23J，故D正确．机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接．这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系．(2)系统内两个物体通过轻绳连接．如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒．解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等．(3)系统内两个物体通过轻杆连接．轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体的角速度相等．链条类系统的机械能守恒问题如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大．[解析]释放后的链条，竖直方向的一半向下运动，放在斜面上的一半向上运动，由于竖直部分越来越多，所以链条做的是变加速运动，不能用一般运动学公式去解．因为斜面光滑，所以机械能守恒，链条得到的动能应是由势能转化的，重力势能的变化可以用重心的位置确定．设斜面最高点为零势能点，链条总质量为m，开始时左半部分的重力势能Ep1＝－m2g·L4sinθ，右半部分的重力势能Ep2＝－m2g·L4，机械能E1＝Ep1＋Ep2＝－m8gL(1＋sinθ)．当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能Ep＝－mgL2，动能Ek＝12mv2，机械能E2＝Ep＋Ek＝－mg2L＋12mv2.由机械能守恒得E1＝E2，所以－mgL8(1＋sinθ)＝－mgL2＋12mv2，整理得v＝gL（3－sinθ）2.[答案]gL（3－sinθ）2【通关练习】1．如图所示，质量分别为m和3m的小球A和B可视为质点，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(hL)．A球无初速度从桌面滑下，落在沙地上静止不动，则B球离开桌面的速度为()A．gh2B．2ghC．gh3D．gh6解析：选A.由hL，当小球A刚落地时，由机械能守恒得mgh＝12(m＋3m)v2，解得v＝gh2，选项A正确．2．如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？解析：法一(取整个铁链为研究对象)：设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方14L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·14L由机械能守恒得：12mv2＝mg·14L，则v＝gL2.法二(将铁链看做两段)：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置．重力势能减少量为ΔEp＝12mg·L2由机械能守恒得：12mv2＝12mg·L2则v＝gL2.答案：gL2重力势能的变化与运动的过程无关，只与初、末状态有关，对于不可视为质点的物体(常见于“链条、液柱”模型)，可对物体分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化，只要研究对象在变化过程中符合机械能守恒条件，即可用机械能守恒定律进行求解．这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法．机械能守恒定律在曲线运动中的应用如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的34圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点C，重力加速度大小为g．求：(1)小球在AB段运动的加速度的大小；(2)小球从D点运动到A点所用的时间．[思路点拨]小球在AB段做初速度为零的匀加速直线运动，在BCD段做变速圆周运动，在DA段做竖直下抛运动．根据牛顿第二定律和机械能守恒定律进行求解．[解析](1)小球在BCD段运动时，受到重力mg、轨道的正压力FN作用，受力分析如图所示．由题意知FN≥0，且小球在最高点C所受轨道的正压力为零，即FNC＝0.设小球在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律有mg＝mv2CR小球从B点运动到C点的过程中，机械能守恒．设小球在B点的速度大小为vB，则有12mv2B＝12mv2C＋2mgR小球在AB段由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为a，由运动学公式得v2B＝2aR联立以上各式解得a＝52g.(2)设小球在D点的速度大小为vD，下落到A点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律，小球从B点运动到D点的过程，有12mv2B＝12mv2D＋mgR小球从B点运动到A点的过程，有12mv2B＝12mv2设小球从D点运动到A点所用的时间为t，根据运动学公式有gt＝v－vD联立解得t＝(5－3)Rg.[答案](1)52g(2)(5－3)Rg【通关练习】1．如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g．当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为()A．Mg－5mgB．Mg＋mgC．Mg＋5mgD．Mg＋10mg解析：选C.设大环半径为R，质量为m的小环滑下过程中遵守机械能守恒定律，所以12mv2＝mg·2R.小环滑到大环的最低点时的速度为v＝2gR，根据牛顿第二定律得FN－mg＝mv2R，所以在最低点时大环对小环的支持力FN＝mg＋mv2R＝5mg.根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力FN′＝FN＝5mg，方向向下．对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力FT＝Mg＋FN′＝Mg＋5mg.根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为FT′＝FT＝Mg＋5mg，故选项C正确，选项A、B、D错误．2．如图所示，若将质量为m的小球拉到绳与水平方向成θ＝30°角的位置处由静止释放，求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？(已知绳长为L，重力加速度为g)解析：小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成θ＝30°角时，绳被拉直，然后小球做圆周运动，如图所示，绳被拉直时小球下降的高度为L，设此时小球的速度为v1.根据自由落体运动的规律有v1＝2gL①将v1分解为沿绳方向的速度v11和垂直于绳方向的速度v12，当绳绷直的瞬间，v11损失v12＝v1cosθ＝6gL2②绳绷直后，小球在竖直平面内做圆周运动，设小球到达最低点C时的速度为v2，由机械能守恒定律有12mv22＝12mv212＋mgL(1－cos2θ)③设在C点绳对小球的拉力为F，根据牛顿第二定律有F－mg＝mv22L④联立②③④式解得F＝72mg.答案：72mg机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大．解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律．