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第7节动能和动能定理核心素养点击物理观念知道动能的定义、单位、表达式和标矢性；知道动能定理的适用范围。科学思维会用动能的表达式计算运动物体的动能；能根据牛顿第二定律及运动学公式导出动能定理，会用动能定理处理有关问题。科学态度与责任能用动能定理解释生产生活中的现象。一、动能1．大小：Ek＝______。2．单位：国际单位制单位为_____，1J＝1____＝1________。3．标矢性：动能是_____，只有_____，没有方向，只有正值，没有负值。12mv2焦耳N·mkg·m2/s2标量大小二、动能定理1．推导：如图所示，物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移l，速度由v1增加到v2，此过程力F做的功为W。2．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中。3．表达式：W＝。4．适用范围：既适用于恒力做功也适用于；既适用于直线运动也适用于。动能的变化Ek2－Ek1变力做功曲线运动(1)速度大的物体动能也大。()(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。()(3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。()(4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。()(5)物体的动能增加，合外力做正功。()√√×××[澄清微点](1)同步卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？提示：速度变化，动能不变。卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的；运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。(2)在同一高度以相同的速率将手中的小球以上抛、下抛、平抛三种不同方式抛出，落地时速度、动能是否相同？提示：重力做功相同，动能改变相同，末动能、末速度大小相同，但末速度方向不同。1．动能的特征(1)动能是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。(2)具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能就不同，一般以地面为参考系。知识点一对动能、动能定理的理解2．对动能定理的理解(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。1．一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍。该质点的加速度为()A．st2B．3s2t2C．4st2D．8st2解析：选A质点在时间t内的平均速度v＝st，设时间t内的初、末速度分别为v1和v2，则v＝v1＋v22，故v1＋v22＝st。由题意知：12mv22＝9×12mv12，则v2＝3v1，进而得出2v1＝st。质点的加速度a＝v2－v1t＝2v1t＝st2。故选项A正确。[即时应用]2．(多选)一质量为0.1kg的小球，以5m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是()A．Δv＝10m/sB．Δv＝0C．ΔEk＝1JD．ΔEk＝0解析：选AD小球速度变化Δv＝v2－v1＝5m/s－(－5m/s)＝10m/s，小球动能的变化量ΔEk＝12mv22－12mv12＝0。故A、D正确。3．下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是()A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零解析：选C力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误。物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度也一定变化，C正确。物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误。1．应用动能定理解题的基本思路知识点二动能定理的应用2．动能定理的优越性牛顿运动定律动能定理适用条件只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用应用方法要考虑运动过程的每一个细节只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能运算方法矢量运算代数运算相同点确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析结论应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错[典例]如图所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险。质量m＝2.0×103kg的汽车沿下坡行驶，当驾驶员发现刹车失灵的同时发动机失去动力，此时速度表示数v1＝36km/h，汽车继续沿下坡匀加速直行l＝350m、下降高度h＝50m时到达“避险车道”，此时速度表示数v2＝72km/h。(g＝10m/s2)[合作共研](1)求从发现刹车失灵至到达“避险车道”这一过程汽车动能的变化量；(2)求汽车在下坡过程中所受的阻力；(3)若“避险车道”与水平面间的夹角为17°，汽车在“避险车道”受到的阻力是在下坡公路上的3倍，求汽车在“避险车道”上运动的最大位移(sin17°≈0.3)。[解析](1)由ΔEk＝12mv22－12mv12得ΔEk＝3.0×105J。(2)由动能定理mgh－Ffl＝12mv22－12mv12得Ff＝12mv12－12mv22＋mghl＝2.0×103N。(3)设汽车在“避险车道”上运动的最大位移是x，由动能定理－(mgsin17°＋3Ff)x＝0－12mv22得x＝12mv22mgsin17°＋3Ff≈33.3m。[答案](1)3.0×105J(2)2.0×103N(3)33.3m动能定理与牛顿运动定律在解题时的选择方法(1)动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法，同一个问题，用动能定理一般要比用牛顿运动定律解决起来更简便。(2)通常情况下，若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决；而曲线运动、变力做功或多过程等问题，一般要用动能定理解决。探规寻律1．(2017·江苏高考)一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处。物块初动能为Ek0，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能Ek与位移x关系的图线是()[即时应用]解析：选C设物块与斜面间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，则物块在上滑过程中根据动能定理有－(mgsinθ＋μmgcosθ)x＝Ek－Ek0，即Ek＝Ek0－(mgsinθ＋μmgcosθ)x，所以物块的动能Ek与位移x的函数关系图线为直线且斜率为负；物块沿斜面下滑的过程中根据动能定理有(mgsinθ－μmgcosθ)(x0－x)＝Ek，其中x0为小物块到达最高点时的位移，即Ek＝－(mgsinθ－μmgcosθ)x＋(mgsinθ＋μmgcosθ)x0，所以下滑时Ek随x的减小而增大且为直线。由此可以判断C项正确。2．一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示。则力F所做的功为()A．mglcosθB．FlsinθC．mgl(1－cosθ)D．Fl(1－sinθ)解析：选C小球的运动过程是缓慢的，因而小球任何时刻均可看作是平衡状态，力F的大小在不断变化，F做功是变力做功。小球上升过程只有重力mg和F这两个力做功，由动能定理得－mg(l－lcosθ)＋WF＝0，所以WF＝mgl(1－cosθ)。3．一架喷气式飞机，质量为m＝5×103kg，起飞过程中从静止开始滑行的路程为x＝5.3×102m时(做匀加速直线运动)，达到起飞速度v＝60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的k倍(k＝0.02)，求飞机受到的牵引力。解析：以飞机为研究对象，它受到重力、支持力、牵引力和阻力作用，这四个力做的功分别为WG＝0，W支＝0，W牵＝Fx，W阻＝－kmgx。由动能定理得Fx－kmgx＝12mv2－0解得F＝kmg＋mv22x=0.02×5×103×10＋5×103×6022×5.3×102N＝1.8×104N。答案：1.8×104N[典例]如图所示，ABCD为一竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10m，BC长1m，AB和CD轨道光滑。一质量为1kg的物体，从A点以4m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3m的D点速度为0。求：(取g＝10m/s2)(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数。(2)物体第5次经过B点时的速度。(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)。知识点三应用动能定理求解多过程问题[合作共研][思路点拨](1)重力做功与物体运动路径无关，其大小为mgΔh，但应注意做功的正、负。(2)物体第5次经过B点时在水平面BC上的路径为4sBC。[解析](1)由动能定理得－mg(h－H)－μmgsBC＝0－12mv12，解得μ＝0.5。(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理得mgH－μmg·4sBC＝12mv22－12mv12，解得v2＝411m/s≈13.3m/s。(3)分析整个过程，由动能定理得mgH－μmgs＝0－12mv12，解得s＝21.6m。所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6m，故距B点的距离为2m－1.6m＝0.4m。[答案](1)0.5(2)13.3m/s(3)距B点0.4m物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则可使问题简化。探规寻律1．(2019·全国卷Ⅲ)从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10m/s2。该物体的质量为()[即时应用]A．2kgB．1.5kgC．1kgD．0.5kg解析：选C画出物体运动示意图，设阻力为f，据动能定理知A→B(上升过程)：－(mg＋f)h＝EkB－EkAC→D(下落过程)：(mg－f)h＝EkD－EkC整理以上两式得：mgh＝30J，解得物体的质量m＝1kg。选项C正确。2．从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k(k1)倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：(1)小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度。(2)小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程。解析：(1)设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得mg(H－h)－kmg(H＋h)＝0，解得h＝1－k1＋kH。(2)设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是s，对全过程由动能定理得mgH－kmgs＝0，解得s＝Hk。答案：(1)1－k1＋kH(2)Hk