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章末优化总结第六章万有引力与航天万有引力定律在天文学中的应用1．抓住两条思路天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决此类问题的基本思路有两条．思路1中心天体的表面或附近，万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg0(g0表示天体表面的重力加速度)．思路2万有引力提供向心力，即GMmr2＝ma．式中a表示向心加速度，而向心加速度又有a＝v2r、a＝ω2r、a＝ωv，a＝4π2rT2、a＝g这样几种表达形式，要根据具体问题，选择合适的表达式讨论相关问题．2．分清四个不同(1)不同公式和问题中r的含义不同例如，在公式GMmr2＝mg中，r表示地球的半径，而在GMmr2＝ma＝mv2r＝m2πT2r中，r通常指行星(或卫星)绕中心天体运动的环绕半径．(2)万有引力与重力不同宇宙间一切物体都是相互吸引的，物体间的这种吸引叫万有引力．地面附近的物体，由于地球的吸引而产生的力叫做重力．重力实际上是地球对物体的万有引力的一个分力，所以物体的重力并不等于地球对物体的万有引力，只是由于两者差距不大，在通常情况下可认为两者近似相等．地球表面附近mg＝GMmR2，所以g＝GMR2(其中g为地球附近的重力加速度，M为地球的质量，R为地球的半径，G为引力常量)．离地面高为h处的物体的重力近似等于万有引力mg′＝GMm（R＋h）2，则g′＝GM（R＋h）2．绕地球运动的物体的重力等于万有引力，且提供向心力mg′＝GMmr2＝F向．(3)随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度不同放在地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动，所以具有向心加速度，该加速度是由地球对物体的引力和地面的支持力的合力提供的，一般来讲是很小的．环绕地球运行的卫星，具有向心加速度，该加速度完全由地球对它的万有引力提供．(4)运行速度和发射速度不同对于人造卫星，由GMmr2＝mv2r，得到v＝GMr，该速度指的是人造卫星在轨道上运行的速度，其大小随轨道半径的增大而减小．要将人造卫星发射到预定的轨道，就需要给卫星一个发射速度，发射速度随着发射高度的增加而增大，所以要注意运行速度和发射速度的区别．一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量m之比为Mm＝81，行星的半径R行与卫星的半径R卫之比为R行R卫＝3．6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比为rR行＝60．设卫星表面的重力加速度为g卫．某同学求卫星表面的重力加速度的过程如下：在卫星所处高度处由万有引力提供向心力，有GMmr2＝mg卫．经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的13600．该结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，请求出正确结果．[思路点拨]要对本题作出正确的判断，必须正确理解重力加速度与向心加速度的区别及重力加速度的产生原因，本题迷惑性很强，因此，推理论证时一定要正确运用相关公式进行．[解析]该同学计算结果不正确．题中已指明M、m、r依次表示行星的质量、卫星的质量和卫星与行星之间的距离，因此，GMmr2是行星对卫星的万有引力，故用GMmr2＝mg′卫算出的g′卫是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度，而不是卫星表面的重力加速度．卫星表面的重力加速度是卫星表面上的物体受到卫星的万有引力(重力)而产生的，即Gmm0R2卫＝m0g卫，则g卫＝GmR2卫行星表面上的重力加速度满足GMm′R2行＝m′g行，则g行＝GMR2行所以g卫g行＝mR2行MR2卫＝181×(3.6)2＝0.16即g卫＝0.16g行．[答案]见解析1．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m．(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有F1＝Gm2R2，F2＝Gm2（2R）2F1＋F2＝mv2R①运动星体的线速度v＝5GmR2R②设周期为T，则有T＝2πRv③T＝4πR35Gm.④(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝r2cos30°⑤由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有F合＝2Gm2r2cos30°⑥F合＝m4π2T2R′⑦由④⑤⑥⑦式得r＝12513R.答案：见解析人造卫星的发射、变轨与对接1．发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星以很大的发射初速度，且发射速度vv1＝7．9km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F向，即GMmr2＝mv2r，从而使卫星进入预定轨道．2．变轨问题人造卫星在轨道变换时，速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生向心运动或离心运动，发生变轨．发射过程：如图所示，一般先把卫星发射到较低轨道1上，然后在P点点火，使火箭加速，让卫星做离心运动，进入轨道2，到达Q点后，再使卫星加速，进入预定轨道3．3．对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道．通过控制轨道使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接．(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同的速度[解析]卫星由轨道1进入轨道2，需在P点加速做离心运动，故卫星在轨道2运行经过P点时的速度较大，A错误；由GMmr2＝ma可知，不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同，在轨道1运行时，P点在不同位置有不同的加速度，B正确，C错误；卫星在轨道2的不同位置，速度方向一定不相同，D项错误．[答案]B有的考生根据GMmr2＝mv2r，错误的推出选项A正确．实际上卫星在轨道1上经过P点时的曲率半径r1，不等于轨道2的半径r，应当小于轨道2的半径．因此上式只对卫星在轨道2上经过P点时成立．卫星在轨道1上经过P点时，应写成GMmr2＝mv21r1，r1r，故v1小于v．2．(多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道．设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是()A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速C．T1T2T3D．v2v1v4v3解析：选CD.卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即GMmR21mv22R1，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即GMmR21＝mv21R1，所以v2v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3v4；又由人造卫星的线速度v＝GMr可知v1v4，由以上所述可知选项D正确．由于轨道半径R1R2R3，由开普勒第三定律r3T2＝k(k为常量)得T1T2T3，故选项C正确．(12分)质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R(R为月球半径)的圆周运动．当它们运动到轨道的A点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆轨道登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速启动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接，如图所示．已知月球表面的重力加速度为g月．科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比．(1)登月器与航天飞机一起在圆轨道上绕月球运行的周期是多少？(2)若登月器被弹离后，航天飞机的椭圆轨道的半长轴为4R，为保证登月器能顺利返回A点实现对接，则登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？[思路点拨]解答本题的关键是掌握以下两点：(1)理解万有引力与重力的关系；(2)能够从题意中挖掘信息，运用数学知识解决物理中的多解问题．[解析](1)设登月器和航天飞机在半径为3R的圆轨道上运行时的周期为T，因其绕月球做圆周运动，所以满足GMm（3R）2＝m2πT2·3R(2分)同时，月球表面的物体所受重力和引力的关系满足GMmR2＝mg月(2分)联立以上两式得T＝6π3Rg月.(2分)(2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2.依题意，对登月器有T2（3R）3＝T21（2R）3，解得T1＝269T(2分)对航天飞机有T2（3R）3＝T22（4R）3，解得T2＝839T(2分)为使登月器沿原椭圆轨道返回到分离点A与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足t＝nT2－T1(其中n＝1，2，3，…)故t＝839nT－269T＝4π(4n－2)Rg月(其中n＝1，2，3…)．(2分)[答案](1)6π3Rg月(2)4π(4n－2)Rg月(n＝1，2，3，…)