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06万有引力与航天第二节太阳与行星间的引力第三节万有引力定律目标导向知识与技能1.理解太阳与行星间存在引力．2．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间引力表达式．3．了解万有引力定律得出的思路和过程．4．理解万有引力定律的含义及其表达式．过程与方法1.通过推导太阳与行星间的引力公式，体会逻辑推理在物理学中的重要性．2．翻阅资料详细了解牛顿的“月—地”检验．3．根据前面所学内容推导万有引力定律的公式以加深记忆，理解其内容的含义．情感态度与价值观1.通过探究体验“发现”的乐趣．2．通过学习认识和借鉴科学的实验方法，充实自己的头脑，更好地去认识世界，提高科学的价值观．3．通过逻辑推理体验其乐趣，提高分析问题、解决问题的能力.自学导航1．太阳对行星的引力(1)行星绕太阳做近似匀速圆周运动时，需要的向心力是由________提供的，设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力F＝________.F∝mr2表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成________，与行星与太阳间距离的二次方成________．(2)太阳与行星之间的引力大小与太阳的质量、行星的质量乘积成________，与两者距离的二次方成__________，即F＝__________，引力的方向沿二者的连线．2．月—地检验(1)检验目的：维持月球绕地球运动的力与地球上苹果下落的力是否为同一性质的力．(2)检验方法：由于月球轨道半径约为地球半径的60倍，则月球轨道上物体受到的引力是地球上的1602.根据__________，物体在月球轨道上运动时的加速度(月球公转的向心加速度)应该是它在地球表面附近下落时的加速度(自由落体加速度)的1602.计算对比两个加速度就可以分析验证两个力是否为同一性质的力．(3)结论：加速度关系也满足“平方反比”规律．证明两种力为同种性质力．3．万有引力定律(1)万有引力定律：自然界中__________两个物体都__________，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与__________成正比，与__________成反比，即可用公式表述为__________．(2)引力常量G＝__________，它是由__________国物理学家__________在实验室里首先测出，该实验也同时验证了万有引力定律．答案1．(1)太阳对行星的引力mv2r正比反比(2)正比反比GMmr22．(2)牛顿第二定律3．(1)任何相互吸引物体的质量m1和m2的乘积它们之间距离r的二次方F＝Gm1m2r2(2)6.67×10－11N·m2/kg2英卡文迪许要点导析导析1太阳与行星间引力的推导(1)假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力．设地球的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M.则由匀速圆周运动的规律可知：F＝mv2r①v＝2πrT②由①②得：F＝4π2mrT2③又由开普勒第三定律T2＝r3k④由③④式得F＝4kπ2mr2⑤即F∝mr2⑥这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳的距离的平方成反比．(2)根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝－F.即F′∝Mr2⑦(3)比较⑥⑦式不难得出F∝Mmr2，写成等式F＝GMmr2，式中G是比例系数，与太阳、行星无关．注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的．导析2月—地检验(1)牛顿的思路：地球绕太阳运动是因为受到太阳的引力，人跳起后又能落回地球是因为人受到地球的引力．这些力是否是同一种力？是否遵循相同的规律？实践是检验真理的唯一标准，但在当时的条件下很难通过实验来验证，这就自然想到了月球．(2)月—地检验：基本思想是如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的1/3600，因为月心到地心的距离约为地球半径的60倍．(3)检验过程：牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度an＝4π2rT2＝2.74×10－3m/s2.一个物体在地面的重力加速度为g＝9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三定律可以导出an∝1r2(an∝rT2，而r3T2＝k，则an∝1r2)．因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，an＝1602g＝2.74×10－3m/s2.即其加速度近似等于月球的向心加速度的值．(4)检验结果：月球围绕地球做近似圆周运动的向心加速度十分接近地面重力加速度的1/3600，这个重要的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律．导析3万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比．(2)公式：F＝Gm1m2r2.其中，G＝6.67×10－11N·m2/kg2称为万有引力常量，m1、m2分别为两个物体的质量，r为两质点间的距离．(3)适用条件：①两个质点r为两质点间的距离，故当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，本公式也适用．②两个均匀球体r为两个球心间的距离．③质量分布均匀的球与球外质点r为球心与质点的距离．(4)对万有引力定律的理解：①万有引力的普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体之间的相互吸引力，它是自然界中物体之间的基本相互作用之一．②万有引力的相互性：两个物体之间的引力是一对作用力和反作用力．它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上．③万有引力的客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体之间，它的作用才有宏观的物理意义．④万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关．(5)引力常量①引力常量的测定：英国物理学家卡文迪许利用如图6—3—1所示的扭秤装置，比较准确地得出了G＝6.745×10－11N·m2/kg2.目前推荐的标准值，G＝6.67259×10－11N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.图6—3—1②理论公式：G＝Fr2m1m2，单位为N·m2/kg2.引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力．③意义：正是由于卡文迪许测定了引力常量G，才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用．此实验不仅证明了万有引力定律的正确性，更使得万有引力定律有了真正的实用价值．导析4重力与万有引力的区别图6－3－21．重力为地球引力的分力如图6－3－2所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝GMmR2.图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mgGMmR2.2．重力大小与纬度、高度的关系(1)重力与纬度的关系：①在赤道上：mg＝GMmR2－mω2R(物体受万有引力和地面对物体的支持力FN的作用，其合力充当向心力，FN的大小等于物体的重力的大小，ω为地球自转角速度)．②在地球两极处：由于F向＝0，即mg＝GMmR2.③在其他位置，如图6－3－2所示，mg＝F2.由以上分析知同一物体的重力随纬度的增加而增大，在赤道上最小，在两极处最大．(2)重力、重力加速度与高度的关系：①在地球表面：mg＝GMmR2，g＝GMR2，g为常数．②在距地面高h处：mg′＝GMm（R＋h）2，g′＝GM（R＋h）2，高度h越大，重力加速度g′越小．注意以下两点：(1)物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝GMmR2.(2)在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小．方法导学思维导悟导悟1太阳与行星间的引力【例1】(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法正确的是()A．太阳对行星的引力提供行星绕太阳旋转的向心力B．太阳对行星的引力的大小与太阳的质量成正比C．太阳对行星的引力与行星的质量无关D．太阳对行星的引力与太阳的质量成正比，与行星到太阳的距离成反比【解析】行星之所以能绕太阳做匀速圆周运动，就是由于太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力，故A正确．由太阳对行星引力的表达式F＝GMmr2可知，太阳对行星的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离的平方成反比，B正确，C、D错误．【答案】AB【点悟】(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向．(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律．(3)太阳对行星的引力效果是向心力，使行星绕太阳做匀速圆周运动．【变式训练1】设地球E(质量为M)是沿圆轨道绕太阳S运动的，当地球运动到位置P时，有一艘宇宙飞船(质量为m)在太阳和地球连线上的A处，从静止出发，在恒定的推进力F的作用下，沿AP方向做匀加速运动，如图6－3－3所示，两年后到达P处(飞船与地球之间的引力不计)，再过半年到达Q处．根据以上条件，求地球与太阳之间的引力．图6－3－3解析：设半年时间为t，地球绕太阳运行的半径为R，则飞船由A运动到P点的时间为4t，到达Q点的时间为5t，P、Q两点的距离为2R，根据牛顿第二定律和运动学公式，得2R＝12×Fm(5t)2－12×Fm(4t)2＝9Ft22m地球绕太阳运行的周期为一年，即T＝2t，其向心力由地球与太阳间的引力提供，所以F引＝F向＝MR4π2T2＝4π2MR2t2＝π2MRt2，解得F引＝9π2MF4m.答案：F引＝9π2MF4m导悟2对万有引力定律的理解【例2】对于万有引力定律的数学表达式F＝Gm1m2r2，下列说法正确的是()A．公式中G为引力常量，是人为规定的B．r趋近零时，万有引力趋于无穷大C．m1，m2受到的万有引力总是大小相等，与m1，m2的大小无关D．m1，m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力【解析】万有引力公式中引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，所以A选项错；使用公式F＝Gm1m2r2时，若两物体可以看成质点时，r为两物体质心间的距离，而r趋于零时两物体不可看成质点，万有引力定律不再适用，因而万有引力趋于无穷大的纯数学思想是不正确的，故B选项错；两个物体间的万有引力是作用力和反作用力的关系，是分别作用在相互作用的物体m1和m2上，不可能是平衡力，所以C选项正确，而D选项错误．【答案】C【点悟】万有引力存在于任何物体之间，但万有引力定律只适用于两个质点之间，当物体间距r→0时，物体不能视为质点，故不能得出r→0时，物体间万有引力F→∞的结果．【变式训练2】(多选)关于万有引力定律，下列说法正确的是()A．牛顿借助自己的力学成就对前人的研究成果进行分析，总结出了万有引力定律B．卡文迪许利用扭秤实验证明了万有引力定律是正确的，并测出了引力常量C．引力常量的单位是N·kg2/m2D．万有引力定律仅适用于天体之间解析：在创建万有引力定律的过程中，牛顿接受了胡克等科学家关于“吸引力与两天体中心间距离的平方成反比”的猜想，并得出物体所受地球的引力与物体的质量成正比，选项A正确；引力常量是由卡文迪许测得的，故B正确；由万有引力定律公式易知G＝Fr2m1m2，则引力常量G的单位应是N·m2/kg2，故C错误；万有引力定律较好地适用于宏观物体的相互作用情况，是普适定律，故D错．答案：AB导悟3万有引力大小的计算【例3】两艘轮船，质量都是1.0×104t，相距10km，它们之间的万有引力是多大？这个力与轮船所受重力的比值是多少？(g取10m/s2)【