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第二章匀速圆周运动第2节匀速圆周运动的向心力和向心加速度第二章匀速圆周运动1．知道什么是向心力，理解它是一种效果力．2．理解向心力公式的确切含义、向心力的来源及向心力大小的实验探究方法．3．理解向心加速度的推导，知道做匀速圆周运动的物体的加速度指向圆心．4．理解公式a＝v2r和a＝rω2的确切含义，并能用来进行计算．（重点＋难点）一、什么是向心力1．感受向心力：用细绳拴接一个小物体，在光滑桌面上抡动细绳使小物体做圆周运动，会感觉到手对小物体的拉力的方向指向______减小旋转速度而保持半径不变，拉力______，增大旋转半径而保持旋转速度不变，拉力______，换质量较大的物体进行实验，拉力______圆心减小增大增大2．圆周运动实例分析(1)月球绕地球做匀速圆周运动，月球受地球的力是_____，方向由月球中心指向地球中心．(2)“旋转秋千”在水平面内做匀速圆周运动，受______和吊绳的______，这两个力的合力指向圆周运动的圆心．3．向心力的含义：做匀速圆周运动的物体受到方向始终指向______的合力．引力重力拉力圆心4．向心力的来源：向心力可以由______提供，也可以由其他性质的力提供；可以由一个力提供，也可以由几个力的______提供．二、向心力的大小1．实验探究(1)探究目的：探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．(2)实验方法：__________法．弹力合力控制变量(3)实验过程①保持ω、r相同，研究向心力F与小球质量m之间的关系．②保持m、r相同，研究向心力F与角速度ω之间的关系．③保持ω、m相同，研究向心力F与半径r之间的关系．(4)实验结论：做匀速圆周运动所需向心力的大小，在质量和角速度一定时，与半径成___比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成___比．在半径和角速度一定时，与质量成___比．正正正2．向心力的公式：F＝_________或F＝__________3．向心力的方向：始终指向______，与______方向垂直．4．向心力的作用：只改变速度的______，不改变速度的______三、向心加速度1．定义：做匀速圆周运动的物体，在________的作用下产生的加速度．2．大小：a＝_______＝________3．方向：与向心力的方向相同，指向圆心．mω2rmv2r圆心速度方向大小向心力v2rω2r甲同学认为由公式a＝v2r知向心加速度a与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式a＝ω2r知向心加速度a与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点．提示：他们两人的观点都不准确，当v一定时，a与r成反比，当ω一定时，a与r成正比．对向心力的理解1．向心力是效果力(1)向心力因其方向时刻指向圆心而得名，故它为效果力．(2)向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直．所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小．2．向心力的来源(1)向心力是从力的作用效果命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．它可以是重力、弹力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力．(2)当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力．3．向心力是变力向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力．向心力公式F＝mv2r或F＝mω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动或一般的曲线运动．（多选）关于向心力，以下说法中不正确的是()A．向心力是除物体所受重力、弹力和摩擦力以外的一种新力B．向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力C．向心力是做匀速圆周运动的物体线速度变化的原因D．只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动[解析]向心力是效果力，不是新力，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力，B正确，A错误；向心力是做匀速圆周运动的物体线速度变化的原因，C正确；向心力必须大小不变，才能保证物体做匀速圆周运动，D错误．[答案]AD向心力可由其他一切力提供，也可以是由其他力的合力或分力提供．当物体做匀速圆周运动时，合外力提供向心力，它沿着半径的方向指向圆心，并且大小恒定；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力提供向心力，而合外力在切线方向上的分力用以改变速度的大小．1．有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车（可视为质点）先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过加速，圆周运动半径亦逐步增大，最后能以较大的速度在垂直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做圆周运动的向心力是()A．筒壁对车的摩擦力B．筒壁对车的弹力C．摩托车本身的动力D．重力和摩擦力的合力解析：选B．当车子和人在垂直的壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力是由筒壁对车的弹力来提供，所以正确选项为B．对向心加速度的理解1．向心加速度的几种表达式a＝v2r＝4π2T2r＝4π2f2r＝4π2n2r2．向心加速度的物理意义因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量．3．向心加速度与半径的关系若ω为常数，根据a＝ω2r可知，向心加速度与r成正比；若v为常数，根据a＝v2r可知，向心加速度与r成反比；若无特定条件，则不能说向心加速度与r成正比还是成反比．a与r的关系图像如图甲、乙所示．(1)无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心．(2)做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改变速度大小．如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知()A．质点P的线速度大小不变B．质点P的角速度大小不变C．质点Q的角速度随半径变化D．质点Q的线速度大小不变[解析]由图像知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以断定质点P的向心加速度aP与半径r的乘积是一个常数k，即质点P的向心加速度与半径成反比，即质点P的线速度大小不变，A选项正确，B错误．同理，知道Q质点的向心加速度与r成正比，故可知质点Q的角速度保持不变．因此选项C、D皆不正确．[答案]A(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．(4)当运动半径一定时，向心加速度随周期的减小而增大．2．关于向心加速度，下列说法正确的是()A．向心加速度是描述线速度变化的物理量B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变D．向心加速度的大小也可用a＝vt－v0t来计算解析：选B．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项A错误，选项B正确；对于变速圆周运动，向心加速度大小是变化的，选项C错误；向心加速度的大小不能用a＝vt－v0t来计算，因为向心加速度是瞬时值，选项D错误．对圆周运动的理解与应用1．匀速圆周运动的性质(1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动．(2)向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速曲线运动．(3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期物体都要重新回到原来的位置，其运动状态（如v、a的大小、方向）也要重复原来的情况．(4)做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心．2．质点做匀速圆周运动的条件合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．匀速圆周运动仅是速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力．3．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别(1)从做曲线运动的条件可知，变速圆周运动中物体所受的合力与速度方向一定不垂直，当速率增大时，物体受到的合力与瞬时速度之间的夹角是锐角，当速率减小时，物体受到的合力与速度之间的夹角是钝角．匀速圆周运动中，合力全部用来提供向心力，合力指向圆心；变速圆周运动中，合力沿着半径方向的分量提供向心力，合力通常不指向圆心．(2)解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式．解决变速圆周运动问题，除了依据上述规律还需要用到后面章节将要学习的功能关系等．由于线速度、向心力、向心加速度是矢量，对于匀速圆周运动，它们的大小不变，但方向时刻改变，因此都不是恒定的．命题视角1对匀速圆周运动的理解如图所示，物块在水平圆盘上与圆盘一起绕固定轴匀速转动，下列说法中正确的是()A．物块处于平衡状态B．物块受三个力作用C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易在圆盘上滑动D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易在圆盘上滑动[解析]对物体受力分析可知，物体受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力、指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，A错误，B正确．根据向心力公式F＝mω2r可知，当ω一定时，半径越大，所需向心力越大，越容易在圆盘上滑动，根据向心力公式F＝m4π2T2r可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，越容易在圆盘上滑动，C、D错误．[答案]B命题视角2水平面上圆周运动的临界问题如图，水平转台高1．25m，半径为0．2m，可绕通过圆心处的竖直转轴转动．转台的同一半径上放有质量均为0．4kg的小物块A、B（可看成质点），A与转轴间距离为0．1m，B位于转台边缘处，A、B间用长0．1m的细线相连，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为0．54N，g取10m/s2．(1)当转台的角速度达到多大时细线上出现张力？(2)当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？(3)若A物块恰好将要滑动时细线断开，此后转台保持匀速转动，求B物块落地瞬间A、B两物块间的水平距离．（不计空气阻力，计算时取π＝3）[思路点拨]本题的关键是抓住临界状态，隔离物体，正确受力分析，在求水平位移时，一定搞清空间位置．[解析](1)由F＝mω2r可知，B先达到临界状态，故当满足fm＝mω21r时线上出现张力．解得ω1＝fmmr＝323rad/s．(2)当ω继续增大，A受力也达到最大静摩擦力时，A开始滑动，fm－F拉＝mω22r2，fm＋F拉＝mω22r得ω2＝4fm3mr＝3rad/s．(3)细线断开后，B沿水平切线方向飞出做平抛运动由h＝12gt2得t＝0．5svB＝rω2＝0．6m/s，可得B的水平射程xB＝vBt＝0．3m细线断开后，A相对静止于转台上，t时间转过的角度θ＝ω2t＝1．5rad即90°故A、B间水平距离lx＝xB－r22＋r2＝0．28m．[答案]见解析关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列方程求解．通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0．(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0．(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值．3．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()A．A的速度比B的大B．A与B的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小解析：选D．A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ωA＝ωB，但rA＜rB，根据v＝ωr得，A的速度比B的小，选项A错误；根据a＝ω2r得，A的向心加速度比B的小，选项B错误；A、B做圆周运动时的受力情况如图所示，根据F向＝mω2r及tanθ＝