2019-2020学年高中物理 第二章 匀变速直线运动的研究 第4节 匀变速直线运动的速度与位移的关

第4节匀变速直线运动的速度与位移的关系自主学习学习目标1.会从v=v0+at和x=v0t+12at2推导出位移和速度的关系公式v2-20v=2ax。2.理解位移和速度关系公式v2-20v=2ax的意义及正、负号的含义。3.能用位移和速度关系公式v2-20v=2ax解决简单问题。4.根据已知条件,会选择公式或联立方程求解相关问题。教材提炼一、匀变速直线运动物体速度与位移关系式[知识梳理]匀变速直线运动中,初末速度与位移的关系式为v2-20v=2ax。[练一练]汽车以10m/s的速度行驶,刹车的加速度大小为3m/s2,则它向前滑行12.5m后的瞬时速度为m/s。答案:5解析:代入公式v2-20v=2ax即得。4.匀变速直线运动的物体在连续相邻相等时间内的位移之差相等,且为Δx=x2-x1=x3-x2=x4-x3=…=aT2,可以推广到xm-xn=。(m-n)aT2二、匀变速直线运动的常用推论[知识梳理]1.匀变速直线运动的平均速度为v=02vv。2.物体在某段时间内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度,即2tv=v=02vv。3.匀变速直线运动的某段位移中点的瞬时速度2xv=2202vv。[练一练]我国某战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动,达到起飞速度v所需时间为t,则起飞前的运动距离为()A.VtB.vtC.2vtD.不能确定B12解析:由匀变速直线运动的平均速度v=02vv=2v,则起飞前的运动距离为x=vt=12vt。三、初速度为零的匀变速直线运动的几个特殊规律[知识梳理]初速度为零的匀变速直线运动(设t为等分时间间隔)(1)t末、2t末、3t末、…、nt末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n;(2)t内、2t内、3t内、…、nt内位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2;(3)在连续相等的时间间隔内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1);(4)经过连续相同位移所用时间之比为tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn=1∶(2-1):(3-2):…∶(n-1n)。要点一匀变速直线运动速度与位移关系式及应用[例1]请你设计一飞机跑道,给一特殊类型的喷气飞机使用。该飞机在跑道上滑行时,飞机发动机能产生a=4.0m/s2恒定的加速度,当速度达到85m/s时即可升空。如果飞机在达到起飞速度的瞬时因故需停止起飞,且能以大小为5.0m/s2的恒定加速度减速。要保证飞机仍不会滑出跑道,跑道的长度至少应设计为多长?课堂探究思路探究:已知速度和加速度,要解决位移问题,该选用哪一运动规律求解?答案:应采用速度与位移关系式求解,要注意加速和减速过程中的加速度符号的正、负。解析:根据速度位移公式v2-20v=2ax,在飞机加速过程中有v2=2ax1,在飞机减速过程中有0-20v=2ax2,前一过程的末速度即为后一过程的初速度,即v=v0,即得跑道的长度为x=x1+x2=212va+222va,代入数据得x=1625.6m。答案:1625.6m误区警示②若位移与正方向相同取正值;若位移与正方向相反,取负值。(2)位移与速度的关系式:v2-20v=2ax为矢量式,其中的x,v,v0,a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向,一般选初速度v0的方向为正方向。①若物体做匀加速直线运动,a取正值;若物体做匀减速直线运动,a取负值。对速度位移公式的理解(1)适用条件:匀变速直线运动。②当v=0时,-20v=2ax(末速度为零的匀减速直线运动)。(3)两种特殊形式①当v0=0时,v2=2ax(初速度为零的匀加速直线运动)。针对训练1:某汽车以20m/s的速度行驶,司机突然发现前方34m处有危险,采取制动措施。若汽车制动后做匀减速直线运动,产生的最大加速度大小为10m/s2,为保证安全,司机从发现危险到采取制动措施的反应时间不得超过多少?答案:0.7s解析:设反应时间不得超过t,在反应时间内汽车的位移为x1,汽车做匀减速运动至停止的位移为x2,则有x1=v0t,x2=202va,又x=x1+x2,解得t=0.7s,故反应时间不得超过0.7s。要点二匀变速直线运动规律的推论及其应用[例2]质点做匀减速直线运动,第1s内位移为10m,停止运动前最后1s内位移为2m。试求质点运动的加速度和初速度各为多大?解析:法一按通常的思维顺序,可依次列出如下方程:根据x=v0t-12at2,对第1s内有10m=v0·1s-12a·(1s)2对前(t-1s)有x-2m=v0(t-1s)-12a(t-1s)2根据v=v0-at,对全过程有0=v0-at解得a=4m/s2,v0=12m/s。法二采用逆向思维的方法,把“末速为零的匀减速直线运动”视为“初速度为零的匀加速直线运动”,则原来的最后1s便成了第1s,由x=12at2得2m=12a·(1s)2,即得到a=4m/s2;由x=12at2得12at2-12a(t-1s)2=10m,则t=3s,由v=at得v0=4m/s2×3s=12m/s。答案:4m/s212m/s方法总结对于末速度为零的匀减速直线运动,利用运动的可逆性,可看成是从末位置到初位置的反向匀加速直线运动,根据其运动的对称性,较为简便地求得减速运动中的位移和速度大小。针对训练2:一汽车发现前方有一障碍物而紧急刹车,经6s停止,刹车过程可视为匀减速直线运动,已知汽车在最后1s内的位移是3m,求汽车开始刹车时的速度和刹车过程中通过的位移。解析:运用逆向思维法,刹车过程可以看成初速度为零的匀加速直线运动,由位移公式x1=12a21t得,汽车开始刹车时的加速度a=1212xt=6m/s2,由速度公式v=v0+at得,汽车开始刹车时的速度v0=at=6m/s2×6s=36m/s,由位移公式得刹车过程中通过的位移x=12at2=108m。答案:36m/s108m要点三匀变速直线运动规律的综合应用[例3]某市规定,卡车在市区行驶的速度不得超过40km/h。一次,一辆飞驰的卡车在危急情况下紧急刹车经1.5s停止。民警量得这一过程中车轮在路面上擦过的痕迹长9m,据此能否判断这辆卡车是否超速违章?设卡车从刹车开始至停止做匀变速直线运动。思路探究:(1)如何判断这辆卡车是否违章?答案:需要算出它在刚开始刹车时的瞬时速度,即初速度v0。(2)能否利用运动图象求卡车的初速度?答案:能,由于已知时间和位移,利用v-t图象中图线与t轴所围“面积”可求得v0。解析:法一根据公式v=v0+atv2-20v=2ax则有0=v0+1.5s·a0=20v+18m·a解得v0=12m/s=43.2km/h。可见这辆卡车已超速违章。法二刹车过程中的平均速度为v=02vv=02v,由x=vt=02vt,所以v0=2xt=29m1.5s=12m/s=43.2km/h。可见这辆卡车已超速违章。法三画出汽车刹车过程中的v-t图,如图所示,图线与t轴间的“面积”数值上等于刹车过程中的位移。由几何知识可得x=12v0t,所以v0=2xt=29m1.5s=12m/s=43.2km/h。可见这辆卡车已超速违章。答案:见解析针对训练3:物体做匀加速直线运动,在时间T内通过位移x1到达A点,接着在时间T内又通过位移x2到达B点,则物体()BA.在A点的速度大小为122xxTB.在B点的速度大小为2132xxTC.运动的加速度为122xTD.运动的加速度为122xxT解析:匀加速直线运动全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,则vA=v=122xxT,A错误;设物体的加速度为a,则x2-x1=aT2,所以a=212xxT,C,D均错误;物体在B点的速度大小为vB=vA+aT,代入数据得vB=2132xxT,B正确。课堂达标1.汽车进行刹车试验,若速率从8m/s匀减速至零,需用时间1s,按规定速率为8m/s的汽车刹车后拖行路程不得超过5.9m,那么上述刹车试验的拖行路程是否符合规定()A.拖行路程为8m,符合规定B.拖行路程为8m,不符合规定C.拖行路程为4m,符合规定D.拖行路程为4m,不符合规定C解析:根据平均速度的推论x=02vt,可得汽车刹车后拖行的路程为x=8m/s2×1s=4m5.9m,所以刹车试验的拖行路程符合规定,则选项C正确。2.汽车以10m/s的速度行驶,刹车的加速度大小为3m/s2,则它向前滑行12.5m后的瞬时速度的大小为()A.10m/sB.5m/sC.4m/sD.15m/sB解析:设汽车的初速度方向为正方向,则v0=10m/s,a=-3m/s2,x=12.5m。由v2-20v=2ax得v=±20+2vax=±2210m/s+23m/s12.5m=±5m/s所以v1=5m/s,v2=-5m/s(舍去)。即汽车向前滑行12.5m后的瞬时速度大小为5m/s,方向与初速度方向相同。3.汽车由静止开始做匀加速直线运动,速度达到v时立即做匀减速直线运动,最后停止,运动的全部时间为t,则汽车通过的全部位移为()解析:汽车的速度—时间图象如图所示,由于图象与时间轴所围“面积”等于位移的大小,故位移x=12vt,选项B正确。A.13vtB.12vtC.23vtD.14vtB4.一辆汽车正以30m/s的速度在平直路面上行驶,驾驶员突然发现正前方约50m处有一个障碍物,立即以8m/s2的加速度刹车,为了研究汽车经过2s是否撞上障碍物,甲、乙两位同学根据已知条件作出以下判断:甲同学认为已撞上障碍物,理由是:在2s时间内汽车通过的位移s=v0t+12at2=30m/s×2s+12×8m/s2×(2s)2=76m50m,乙同学也认为已撞上障碍物,理由是:在2s时间内汽车通过的位移s=2202tvva=22030m/s28m/s=56.25m50m。以上两位同学的判断是否正确?如果不正确,指出错误的原因并作出正确的解答。解析:甲、乙均错。甲是加速度方向错误。乙是认为2s末车已停下。根据运动学公式vt=v0+at可求得汽车刹车到停下所用的时间t=0tvva=2030m/s8m/s=3.75s。故在2s内的位移s=v0t+12at2=30m/s×2s+12×(-8m/s2)×(2s)2=44m50m,车还没有撞上障碍物。答案:见解析