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第十一章机械振动3简谐运动的回复力和能量[学习目标]1.理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律．(重、难点)2.掌握简谐运动回复力的特征．(重点)3.对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程．自主探新知预习一、简谐运动的回复力1．回复力(1)定义：振动质点受到的总能使其回到________的力．(2)方向：指向________．(3)表达式：F＝______.平衡位置平衡位置－kx2．简谐运动的动力学特征如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成____，并且总是指向________，质点的运动就是简谐运动．正比平衡位置二、简谐运动的能量1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系弹簧振子运动的过程就是____和____互相转化的过程．(1)在最大位移处，____最大，____为零．(2)在平衡位置处，____最大，____最小．动能势能势能动能动能势能2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能____，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种______的模型．守恒理想化1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)简谐运动是一种理想化的振动．()(2)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．()(3)弹簧振子位移最大时，势能也最大．()(4)回复力的方向总是与位移的方向相反．()(5)回复力的方向总是与加速度的方向相反．()√×√√×2．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中()A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子的位移逐渐减小C．振子的速度逐渐减小D．振子的加速度逐渐减小E．弹簧的形变量逐渐减小BDE[该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析．当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝Fm得加速度也减小．物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大．故正确答案为B、D、E.]3.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是()A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加E．小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量不变ABE[小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D项错误．E项正确．]合作攻重难探究简谐运动的回复力1．回复力的性质回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．2．简谐运动的回复力的特点(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．(3)根据牛顿第二定律得，a＝Fm＝－kmx，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．【例1】一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示．(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________；(2)该小球的振动是否为简谐运动？[解析](1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力．(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)②将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动．[答案](1)弹力和重力的合力(2)是简谐运动判断是否为简谐运动的方法(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系．(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析．(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力．(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－kmx)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动．1.如图所示，分析做简谐运动的弹簧振子m的受力情况．[解析]弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力，回复力为效果力，受力分析时不分析此力，故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力．[答案]受重力、支持力及弹簧给它的弹力简谐运动的特点如图所示的弹簧振子．振子的运动位移加速度速度动能势能O→B增大，方向向右增大，方向向左减小，方向向右减小增大B最大最大00最大B→O减小，方向向右减小，方向向左增大，方向向左增大减小O00最大最大0O→C增大，方向向左增大，方向向右减小，方向向左减小增大C最大最大00最大C→O减小，方向向左减小，方向向右增大，方向向右增大减小(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反．(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．(3)最大位移处是速度方向变化的转折点．(4)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量．【例2】如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A、B、C、D、E、F各时刻中：(1)哪些时刻振子有最大动能？(2)哪些时刻振子有相同速度？(3)哪些时刻振子有最大势能？(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？[解析]由题图知，B、D、F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A、C、E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0.B、F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B、F时刻虽然速率相同，但方向相反．A、E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A、E两时刻相同，但方向相反．由回复力知识可知C时刻与A、E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．[答案](1)B、D、F时刻振子有最大动能(2)A、C、E时刻振子速度相同，B、F时刻振子速度相同(3)A、C、E时刻振子有最大势能(4)A、E时刻振子有相同的最大加速度对简谐运动能量的三点认识(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的．(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．2.弹簧振子做简谐运动，其位移x与时间t的关系如图所示，则()A．在t＝1s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零B．在t＝2s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零C．在t＝3s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大D．在t＝4s时，速度的值最大，方向为正，加速度为零E．当t＝5s时，速度为零，加速度最大，方向为负BDE[当t＝1s和t＝5s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项A错误，E正确；当t＝2s时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t＝2s时，速度为负值，选项B正确；当t＝3s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项C错误；当t＝4s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项D正确．]课堂小结知识脉络1.回复力的概念，根据回复力的特点判断物体是否做简谐运动．2．用动力学的方法分析简谐运动中位移、速度，回复力和加速度的变化规律．3．用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律.