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第5章万有引力与航天习题课天体运动与万有引力一、概念公式推论1．开普勒三定律(1)开普勒第一定律(又叫轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．(2)开普勒第二定律(又叫面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．如图所示，阴影部分为相等时间内所扫过的面积，两面积相等．(3)开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．若用a表示椭圆轨道的半长轴，T表示行星的公转周期，则可用公式表示为：a3T2＝k．2．万有引力公式：F＝GMmr2[G＝6．67×10－11m3/(kg·s2)]．3．“黄金代换”公式：GM＝gR2．4．万有引力充当向心力公式：GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2·r＝ma．5．天体质量的估算(1)已知环绕天体的周期T、轨道半径r可得中心天体质量．GMmr2＝m4π2T2r⇒M＝4π2r3GT2．(2)已知中心天体半径R及表面重力加速度g可得中心天体质量．GMmR2＝mg⇒M＝gR2G．6．天体密度的估算(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度由mg＝GMmR2和M＝ρ·43πR3，得ρ＝3g4πGR，其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径．(2)利用天体的卫星来求天体的自身密度设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程GMmr2＝mr4π2T2，M＝ρ·43πR3，得ρ＝M43πR3＝4π2r3GT243πR3＝3πr3GT2R3．(3)当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2．二、天体运动的分析技巧1．建立模型：不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型．2．列方程求解：根据中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解．F向＝F万＝ma＝GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r．卫星的运动规律及其应用若两颗人造地球卫星的周期之比为T1∶T2＝2∶1，则它们的轨道半径之比R1∶R2＝________，向心加速度之比a1∶a2＝__________．[解析]由GMmR2＝m·4π2T2·R得R1R2＝3T213T22＝34由GMmR2＝ma得a1a2＝R22R21＝3T423T41＝344．[答案]34∶134∶4“赤道物体”与“同步卫星”“近地卫星”的比较有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，卫星c是地球同步卫星，卫星d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有()A．卫星a的向心加速度等于重力加速度gB．卫星c在4h内转过的圆心角是π6C．在相同时间内卫星b转过的弧长最长D．卫星d的运动周期有可能是23h[解析]地球赤道上静止的物体随地球自转的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；同步卫星c在4h内转过的圆心角φ＝2π24×4＝π3，选项B错误；相同时间内转过的弧长s由线速度v决定，卫星b的线速度最大，因此相同时间内卫星b转过的弧长最长，选项C正确；卫星d的轨道比同步卫星c的高，周期比同步卫星c的大，则其周期一定大于24h，选项D错误．[答案]C(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，如同一圆盘上不同半径的两个点，由v＝ωr和a＝ω2r可分别判断线速度，向心加速度的关系．(2)不同轨道上的卫星向心力来源相同，即万有引力提供向心力，由GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r＝mr4π2T2可分别得到a＝GMr2、v＝GMr、ω＝GMr3及T＝2πr3GM，故可以看出，轨道半径越大，a、v、ω越小，T越大．如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B、地球的同步卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是()A．三者的周期关系为TATBTCB．三者向心加速度的大小关系为aAaBaCC．三者角速度的大小关系为ωAωCωBD．三者线速度的大小关系为vAvCvB解析：选D．卫星C为同步卫星，周期与A物体周期相等，故A错误；A、C比较，角速度相等，由a＝ω2r可知，aAaC，故B错误；卫星C与A物体周期相等，角速度也相等，因而C错误；A、C比较，角速度相等，由v＝ωr，可知vAvC，B、C比较，同为卫星，由人造卫星的速度公式v＝GMr，可知vCvB，因而vAvCvB，故D正确．