第2节力的分解1.理解力的分解和分力的概念,知道力的分解同样遵循力的平行四边形定则.2.会从力的作用的实际效果出发进行力的分解,会用直角三角形知识计算分力.3.掌握力的正交分解的方法.4.会用力的分解分析生产和生活中的实际问题.1.用直角三角形的知识计算分力是本节的重点.2.力的正交分解是本节的另一个重点.3.用力的分解分析实际问题是本节的难点.抓主干新知预习探究破疑难核心要点突破练技巧综合拓展提升提素能随堂巩固演练练能力高效知能检测一、分力、力的分解1.分力:几个力共同作用的效果与一个力的作用效果相同,则这几个力叫那个力的分力.2.力的分解求一个已知力的叫做力的分解.分力3.力的分解法则:力的分解是的逆运算,同样遵守,即:把一个已知力F作为平行四边形的对角线,那么与力F共点的平行四边形的邻边就表示力F的两个分力F1、F2.4.力的分解原则(1)一个力分解为两个力,从理论上讲有无数组解.因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个.(2)在实际问题中要依据力的分解.力的合成平行四边形定则实际作用效果如图所示,一物体A放于倾角为θ的斜面上而处于静止状态,把其所受的重力G分解为如图所示的两个分力F1和F2之后,F1、F2的受力物体是哪一个?能否说F2为斜面受的压力?提示:物体A,合力与分力作用效果是可以等效替代的,受力物体还是同一个物体;不能.二、力的正交分解1.正交分解:把一个力分解为两个的分力,这种分解方法叫正交分解,如图所示,F的分力分别为Fx=,Fy=.2.正交分解的优点正交分解适用各种矢量,并将矢量运算转化成的标量运算.互相垂直FsinθFcosθ坐标轴方向上三、力的分解的应用当合力一定时,分力的和方向将随着分力间夹角的改变而改变.两个分力间的夹角越大,分力也就.大小越大力的分解1.遵循法则力的分解是力的合成的逆运算,遵守平行四边形定则.2.分解原则根据力的实际作用效果分解.3.常见实例分析实例产生效果分析拉力F一方面使物体沿水平地面前进,另一方面向上提物体,因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2物体的重力产生两个效果:一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1;二是使物体压紧斜面的分力F2,F1=mgsinα,F2=mgcosα实例产生效果分析球的重力产生两个效果:一是使球压紧板的分力F1;二是使球压紧斜面的分力F2.F1=mgtanα,F2=mgcosα球的重力产生两个效果:一是使球压紧竖直墙壁的分力F1;二是使球拉紧悬线的分力F2.F1=mgtanα,F2=mgcosα实例产生效果分析物体的重力产生两个效果:一是使物体拉紧AO线的分力F1;二是使物体拉紧BO线的分力F2.F1=F2=mg2sinα[特别提醒]1.对力进行分解时,要按力的作用效果准确确定出两个分力的方向.2.对力进行分解时,必须用刻度尺画出标准的“▱”便于确定角度关系,用数学方法求解.[典例1]如图所示,一个质量为m=2kg的均质小球放在倾角为θ=37°的光滑斜面上,并被斜面上一个竖直的光滑挡板挡住,处于静止状态,试求挡板和斜面对小球的弹力.(已知g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)[思路点拨]在进行力的分解时,要先把这个力的作用效果一一分清,然后根据这些效果确定分力的方向.在确定重力的作用效果时,不妨同时假设挡板与斜面是“软”的,想象挡板与斜面会发生怎样的形变,从而想象重力对挡板与斜面产生的力的作用效果.[尝试解答]球受到竖直向下的重力作用,球的重力产生了两个效果:使球垂直压紧斜面和使球垂直压紧挡板.如图所示,将球的重力G分解为垂直于斜面的分力F1和垂直于挡板的分力F2,则F1=G/cosθ,F2=Gtanθ.因此,斜面对球的弹力N1和挡板对球的弹力N2的大小分别为N1=F1=G/cosθ=20/cos37°N=25N,方向垂直斜面向上;N2=F2=Gtanθ=20×tan37°N=15N,方向垂直挡板水平向右.[答案]15N水平向右25N垂直斜面向上根据力的实际效果分解力时,一般按照下列顺序进行:(1)首先根据力的实际效果确定两个分力的方向.(2)根据两个分力的方向作出力的平行四边形,确定表示分力的有向线段.(3)利用数学知识解平行四边形或三角形,计算分力的大小和方向.1.如图所示,用悬绳AO、BO、OC悬挂一重物,已知重物质量为20kg,BO绳水平,∠AOB=150°,则它们受到的拉力分别为多大?(g取10m/s2)解析:重物静止,它对竖直绳的拉力F=G=mg=200N将F分解为F1、F2,如图所示F1=Fcos60°=200N12=400NF2=Ftan60°=2003N=346.4N.答案:200N400N346.4N力的正交分解1.正交分解的适用情况:适用于计算三个或三个以上力的合成.2.正交分解的应用步骤(1)建立坐标系:以共点力的作用点为坐标原点,直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上.(2)正交分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上,并求出各分力的大小,如图所示.(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力,即:Fx=F1x+F2x+…Fy=F1y+F2y+…(4)求共点力的合力:合力大小F=F2x+F2y,合力的方向与x轴的夹角为α,则tanα=FyFx.3.正交分解的优点:将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力,便于运用代数运算解决矢量的运算,“分解”以后可以更好的“合成”[特别提醒]1.正交分解法不一定按力的实际效果分解,而根据需要为简化问题来分解.2.建立坐标系时,以共点力作用线的交点为原点,并尽量使较多的力落在坐标轴上以少分解力,使求解合力方便.[典例2]已知共面的三个力F1=20N,F2=30N,F3=40N作用在物体的同一点上,三力之间的夹角都是120°,求合力的大小和方向.[思路点拨]解答本题应把握以下三点:(1)建立恰当的直角坐标系.(2)沿坐标轴分解各力并求F合x、F合y.(3)由Fx和Fy求出合力的大小和方向.[尝试解答]如图所示,建立正交坐标系,分解不在轴上的力.F2x=-F2sin30°=-15N,F2y=F2cos30°=153NF1x=-F1sin30°=-10N,F1y=-F1cos30°=-103N则Fx=F3+F1x+F2x=15NFy=F1y+F2y=53N由图得F=F2x+F2y=103Nα=arctanFyFx=arctan5315=30°.[答案]合力大小为103N与x轴正方向夹角为30°2.在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N,方向如图所示,求它们的合力.解析:本题若连续运用平行四边形定则求解,需解多个斜三角形,一次又一次确定部分合力的大小和方向,计算过程十分复杂.为此,可采用力的正交分解法求解此题.如图(a)建立直角坐标系,把各个力分解到两个坐标轴上,并求出x轴、y轴上的合力Fx和Fy,有Fx=F1+F2cos37°-F3cos37°=27NFy=F2sin37°+F3sin37°-F4=27N因此,如图(b)所示,合力F=F2x+F2y≈38.2Ntanφ=FyFx=1即合力的大小约为38.2N,方向与F1夹角为45°.答案:合力的大小约为38.2N,方向与F1夹角为45°力的分解的讨论力分解时有以下几种(合力F的大小和方向是已知的):已知条件示意图解的情况已知两个分力的方向已知条件示意图解的情况已知两个分力的大小有两组解或无解(当|F1-F2|F或FF1+F2时无解)已知一个分力的大小和方向已知条件示意图解的情况已知一个分力的大小和另一个分力的方向有四种情况(图略)(1)当F1=Fsinθ时,有一组解(2)当F1Fsinθ时,无解(3)当FsinθF1F时,有两组解(4)当F1≥F时,有一组解[典例3]把一个已知力F分解,要求其中一个力F1跟F成30°角,而大小未知;另一个分力F2=33F,但是方向未知,则F1的大小可能是()A.33FB.32FC.3FD.233F[思路点拨]在已知合力的大小和方向以及一个分力的方向和另一个分力的大小时,将已知的合力分解需要注意无解、一解、双解的条件.本例中,合力与已知方向的分力间的夹角为锐角,并且FF2=33FFsin30°,故有双解.[规范解答]由平行四边形定则知,分力F1、F2和F构成三角形,如图所示.因F2=33FF2,由图可知,F1有两个可能的值.在直角三角形OAF中,OA=Fcos30°=32F,在直角三角形F1AF中,F1A=F22-F22=36F,由对称性可知:AF1′]=F1A=36F.则:F1=OA-F1A=33F,F1′=OA+F1A=233F,选项A、D正确.故选A、D.[答案]AD3.如图所示,已知合力F及分力F1的方向,求另一个分力F2的最小值.解析:由三角形法则可知,F1、F2与F必构成封闭三角形,由F向OA作线段,可构成无数个三角形.如图所示,其中MD与OA垂直,即为F2的最小值.在Rt△ODM中,MDOM=sinθ所以MD=OM·sinθ即F2min=Fsinθ所以F2的最小值为Fsinθ.答案:Fsinθ如图所示,质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上,在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球,使之处于静止状态,今使挡板与斜面的夹角β缓慢增大,问:在此过程中,球对挡板的压力和球对斜面的压力的大小如何变化?[思路点拨]合力和分力满足三角形定则,即两个分力与合力组成封闭的三角形,利用这一点可解决动态问题.[规范解答]球的重力可分解为垂直于斜面和垂直于挡板的两个分力G1和G2,G1和G2与G将组成封闭三角形,挡板转动时,G2的方向变,但G1的方向不变,故可用平行四边形定则或三角形定则分析求解.在挡板放低的过程中,重力G的大小和方向均不变,垂直斜面的分力G1的方向不变,作出以G为对角线、一条邻边为G1方向的一系列平行四边形,如图所示.由图可知,G1随挡板的降低始终在减小,G2先减小后增大,当G1与G2垂直时,即挡板垂直于斜面放置时,G2取最小值为Gsinα.[答案]对挡板的压力先减小后增大,对斜面的压力一直减小.1.下列说法正确的是()A.一个力只能根据它的作用效果进行分解B.力的合成遵守平行四边形定则C.合力的方向一定与最大的分力方向相同D.合力一定大于每一个分力解析:一个力可以根据作用效果分解也可以按其他方式分解,如正交分解,A选项错;力的合成和分解都遵守平行四边形定则,B选项对;合力的大小、方向与分力的大小、方向分别对应于平行四边形的对角线和邻边,C、D选项错.答案:B2.下列说法正确的是()A.2N的力可以分解为6N和3N的两个分力B.10N的力可以分解为5N和4N的两个分力C.2N的力可以分解为6N和5N的两个分力D.10N的力不可以分解为10N和10N的两个分力解析:力的分解是力的合成的逆运算,若分力为F1、F2,则合力的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2.6N与3N的合力范围是3N~9N,2N不在这一范围,即2N不能分解成6N和3N的两个分力,A错误.依此类推,可以判断C正确,B、D错误.答案:C3.小明想推动家里的衣橱,但使出了吃奶的力气也推不动,他便想了个妙招,如图所示,用A、B两块木板,搭成一个底角较小的人字形架,然后往中央一站,衣橱居然被推动了!下列说法中正确的是()A.这是不可能的,因为小明根本没有用力去推衣橱B.这是不可能的,因为无论如何小明的力气也没那么大C.这有可能,A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力D.这有可能,A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力解析:人的重力可沿两木板进行分解,由平行四边形定则可知两木板的夹角越大,两木板的分力也就越大,A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力,故C正确.答案:C4.如图所示,将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1和F2两个力,下列结论正确的是()A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力,F2是物体对斜面的正压力B.物体受mg、N、F1和F2四个力的作用C.物体只受重力mg和弹力N的作用D.力N、F1和F2三