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第5章磁场与回旋加速器习题课带电粒子在磁场中的运动公式、推论1.特征方程：f洛＝F向.2.四个基本公式(1)向心力公式：qvB＝mv2r；(2)半径公式：r＝mvqB；(3)周期和频率公式：T＝2πmqB＝1f；(4)动能公式：Ek＝12mv2＝（qBr）22m.在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示.不计粒子重力，求：(1)M、N两点间的电势差UMN；(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r；(3)粒子从M点运动到P点的总时间t.[解析]粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，两者的衔接点是N点的速度.(1)设粒子过N点时的速度为v，有v0v＝cosθ，v＝2v0.粒子从M点运动到N点的过程，有qUMN＝12mv2－12mv20，所以UMN＝3mv202q.(2)如图所示，粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′N，有qvB＝mv2r，所以r＝mvqB＝2mv0qB.(3)由几何关系得ON＝rsinθ，设粒子在电场中运动的时间为t1，有ON＝v0t1，所以t1＝ONv0＝rsinθv0＝2msinθqB＝3mqB.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2πmqB，设粒子在磁场中运动的时间为t2，有t2＝π－θ2πT＝π－π32π·2πmqB＝2πm3qB.所以t＝t1＋t2＝（33＋2π）m3qB.[答案](1)3mv202q(2)2mv0qB(3)（33＋2π）m3qB1.如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有一沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场.现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(重力不计)从坐标原点O以速度大小v0射入磁场，其入射方向与x轴的正方向成30°角.当粒子第一次进入电场后，运动到电场中P点处时，方向与x轴正方向相同，P点坐标为[(23＋1)L，L].(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：(1)粒子运动到P点时速度的大小v；(2)匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B；(3)粒子从O点运动到P点所用的时间t.解析：(1)粒子运动轨迹如图所示，OQ段为圆弧，QP段为抛物线，粒子在Q点时的速度大小为v0，根据对称性可知，方向与x轴正方向成30°角，可得：v＝v0cos30°解得：v＝32v0.(2)在粒子从Q运动到P的过程中，由动能定理得－qEL＝12mv2－12mv20解得E＝mv208qL水平方向的位移为xQP＝32v0t1竖直方向的位移为y＝12v0sin30°t1＝L可得xQP＝23L，OQ＝xOP－xQP＝L由于OQ＝2Rsin30°，故粒子在OQ段做圆周运动的半径R＝L，又qv0B＝mv20R，解得B＝mv0qL.(3)粒子从O点运动到Q点所用的时间为t1＝16×2πRv0＝πL3v0设粒子从Q到P所用时间为t2，在竖直方向上有t2＝Lvy/2＝4Lv0则粒子从O点运动到P点所用的时间为t＝t1＋t2＝（12＋π）L3v0.答案：(1)32v0(2)mv208qLmv0qL(3)（12＋π）L3v0如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v与磁场垂直、与电场成45°角射入复合场中恰能做直线运动，求电场强度E和磁感应强度B的大小.[解析]由于带电微粒所受洛伦兹力与v垂直，电场力的方向与电场线平行，所以微粒还要受重力作用才能做直线运动.若微粒带负电，则电场力水平向左，则它所受的洛伦兹力f就应向右下与v垂直，这样粒子就不能做直线运动，所以微粒应带正电荷，画出受力图如图所示.根据合力为零得：mg＝qvBsin45°①qE＝qvBcos45°②由①式得B＝2mgqv.由①②联立得E＝mgq.[答案]mgq2mgqv2.如图所示，在正交的匀强电场和匀强磁场中，一带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动，则粒子带电性质和环绕方向分别是()A．带正电，逆时针B．带正电，顺时针C．带负电，逆时针D．带负电，顺时针解析：选C．粒子在复合场中做匀速圆周运动，所以粒子所受重力与电场力二力平衡，所以电场力方向向上，粒子带负电，根据左手定则，负电荷运动方向向上时受向左的作用力做逆时针运动，选项C正确.如图所示，一对平行极板长为x，极板间距离为y，极板间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场.一质量为m、电荷量为e的电子，从左侧边界线的中点处，沿平行于极板且垂直磁感线的方向射入磁场.欲使电子不飞出匀强磁场区，它的速率v应满足什么条件？[解析]根据左手定则知电子只能向下偏转.电子在磁场中做匀速圆周运动，可能从下极板左侧飞出，也可能从下极板右侧飞出.若电子恰从左侧飞出，运动轨迹如图甲所示，此时轨迹与下极板相切.由几何关系得r1＝y4，根据半径公式r1＝mv1eB得v1＝eBr1m＝eBy4m.若电子恰从右侧飞出，运动轨迹如图乙所示，此时轨迹与极板右侧边缘相交.作入射速度的垂线和入射点与出射点连线的中垂线，交点O′即为圆心，连接圆心O′与下极板右侧边缘的点，即为圆周运动的另一条半径，由图中几何关系得r22＝x2＋r2－y22，r2＝4x2＋y24y，根据轨道半径公式r2＝mv2eB解得v2＝（4x2＋y2）eB4my，故为使电子不飞出磁场区域，必满足eBy4m＜v＜eB（4x2＋y2）4my.[答案]eBy4m＜v＜eB（4x2＋y2）4my3.如图甲所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求：(1)磁感应强度B0的大小；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值.解析：设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向.(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝mv20R而v0＝2πRT0由两式得磁感应强度B0＝2πmqT0.(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝d4做匀速圆周运动的周期T0＝2πRv0当两板之间正离子运动n个周期，即nT0时，有R＝d4n(n＝1，2，3…)联立求解，得正离子的速度的可能值为v0＝B0qRm＝πd2nT0(n＝1，2，3…).答案：(1)2πmqT0(2)πd2nT0(n＝1，2，3…)