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第4章匀速圆周运动本章优化总结圆周运动的运动学分析1．正确理解描述圆周运动快慢的物理量及其相互关系：线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动快慢的物理量，但意义不同．线速度描述物体沿圆周运动的快慢，角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，由ω＝2πT＝2πn知，ω越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之则越慢．故三个物理量知道其中一个，另外两个也就成为已知量．2．公式v＝ωr的应用和说明(1)对此公式的正确说法是：在线速度v一定时，角速度ω与圆半径r成反比；在角速度ω一定时，线速度v与圆半径r成正比；在圆半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比．(2)在分析传动装置的各物理量之间的关系时，要首先明确什么量是相等的，什么量是不等的．在通常情况下，同轴转动的各点的角速度ω、转速n和周期T相等，而线速度v＝ωr与半径r成正比．在认为皮带不打滑的情况下，传动皮带和与皮带连接的轮子的边缘上各点的线速度大小相等，而角速度ω＝vr与半径r成反比．如图所示，A、B是两个相同的齿轮，A被固定不能转动，若B齿轮绕A齿轮运动半圈，到达图中的c位置，则B齿轮上所标出的竖直向上的箭头所指的方向是()A．竖直向上B．竖直向下C．水平向左D．水平向右[解析]当A齿轮被固定时，只有B齿轮转动，显然B齿轮的中心以齿轮A的圆心为圆心做圆周运动，设齿轮半径为r，则B齿轮的圆心做圆周运动的半径为R＝2r，那么从b位置运动到c位置的路程为l＝θ·R＝π·2r，而B齿轮上各点绕B齿轮的圆心自转的半径为r，由路程相等，则可求得B齿轮转动的圆心角θ′＝lr＝2π，即B齿轮转了一圈，所以B齿轮边缘上箭头所在点自转一周，箭头方向仍竖直向上，选项A正确．[答案]A解答本题时应注意，B齿轮上各点绕自己的圆心做圆周运动的同时，B齿轮的圆心还在绕A齿轮的圆心做圆周运动．不要被齿轮相互啮合所迷惑．1.(多选)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则()A．a、b两点线速度相同B．a、b两点角速度相同C．若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va∶vb＝3∶2D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝3∶2解析：选BCD.由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，选项B正确．而根据v＝ωr可知vavb，选项A错误．由几何关系得ra＝rbcosθ，当θ＝30°时，ra＝32rb，则va∶vb＝3∶2，选项C正确．由a＝ω2r可知aa∶ab＝ra∶rb＝3∶2，选项D正确．圆周运动的动力学问题分析1．明确圆周运动的轨道平面、圆心和半径是解题的基础．分析圆周运动问题时，首先要明确其圆周轨道是怎样的一个平面，确定其圆心在何处，半径是多大，这样才能掌握做圆周运动物体的运动情况．2．分析物体受力情况，搞清向心力的来源是解题的关键．如果物体做匀速圆周运动，物体所受各力的合力就是向心力；如果物体做变速圆周运动，它所受的合力一般不是向心力，但在某些特殊位置(例如：竖直平面内圆周的最高点、最低点)，合力也可能就是向心力．3．恰当地选择向心力公式．向心力公式F＝mv2r＝mrω2＝m2πT2r中都有明确的特征，应用时要根据题意，选择适当的公式计算．长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当摆线L与竖直方向的夹角为α时，求：(1)细线的拉力F的大小；(2)小球运动的线速度的大小；(3)小球运动的角速度及周期．[解析]做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和细线的拉力F的作用．(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向指向圆心O′.由平行四边形定则得小球受到的合力大小为F合＝mgtanα细线对小球的拉力大小为F＝mgcosα.(2)由牛顿第二定律得：mgtanα＝mv2r由几何关系得r＝Lsinα所以，小球做匀速圆周运动的线速度的大小为v＝gLtanαsinα.(3)小球运动的角速度ω＝vr＝gLtanαsinαLsinα＝gLcosα小球运动的周期T＝2πω＝2πLcosαg.[答案](1)mgcosα(2)gLtanαsinα(3)gLcosα2πLcosαg用向心力公式解题的应用步骤(1)“四”确定：确定研究对象、确定轨道平面、确定圆心位置、确定向心力的方向(其中确定轨道平面和圆心位置是难点)．(2)对研究对象进行受力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，明确F向的来源．(3)用合成法或正交分解法求F向．(4)灵活选取相应公式F向＝mrω2＝mv2r＝m2πT2r＝m（2πn）2r进行求解．2.如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做匀速圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力大小．解析：由题图可知，小球做匀速圆周运动的圆心为O′，运动半径为r＝Rsinθ.小球受重力mg及碗壁对小球的弹力F的作用，向心力由弹力的水平分力提供．受力分析如图所示．由向心力公式F向＝mv2r得Fsinθ＝mv2Rsinθ竖直方向上小球的加速度为零，所以竖直方向上小球所受的合力为零，即Fcosθ＝mg解得F＝mgcosθ联立以上各式可解得物体做匀速圆周运动的速度v＝Rgsinθtanθ.答案：Rgsinθtanθmgcosθ圆周运动中的临界问题1．临界状态：当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．2．轻绳类：轻绳拴球在竖直面内做圆周运动，过最高点时，临界速度为v＝gr，此时F绳＝0.3．轻杆类(1)小球能过最高点的临界条件：v＝0.(2)当0＜v＜gr时，F为支持力；(3)当v＝gr时，F＝0；(4)当v＞gr时，F为拉力．4．汽车过拱桥：如图所示，当压力为零时，即G－mv2R＝0，v＝gR，这个速度是汽车过拱桥的临界速度．v＜gR是汽车安全过桥的条件．5．摩擦力提供向心力：如图所示，物体随着水平圆盘一起转动，汽车在水平路面上转弯，它们做圆周运动的向心力等于静摩擦力，当静摩擦力达到最大时，物体运动速度也达到最大，由fmax＝mv2maxr得vmax＝fmaxrm，这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度．如图所示，AB为半径为R的金属导轨(导轨厚度不计)，a、b为分别沿导轨上、下两表面做圆周运动的小球(可看作质点)，要使小球不脱离导轨，则a、b在导轨最高点的速度va、vb应满足什么条件？[解析]对a球在最高点，由牛顿第二定律得：mag－Na＝mav2aR①要使a球不脱离轨道，则Na≥0②由①②得：va≤gR对b球在最高点，由牛顿第二定律得：mbg＋Nb＝mbv2bR③要使b球不脱离轨道，则Nb≥0④由③④得：vb≥gR.[答案]见解析圆周运动的临界问题，其实就是速度的极限或是某个力的极限，其问题的关键是对物体的运动状态进行正确分析，找出临界条件，而临界条件的确定多数情况下可以采用极限分析法．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放