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第4章能量守恒与可持续发展习题课机械能守恒定律的应用公式推论1．动能：Ek＝12mv2．2．势能：Ep＝mgh．3．重力做功和重力势能的关系：WG＝－ΔEp．4．机械能守恒公式(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2．(2)ΔEk＝－ΔEp．(3)ΔEA＝－ΔEB．单物体机械能守恒问题如图所示，质量为m的物体以某一初速度v0从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力．若物体通过最低点B的速度为3gR，求：(1)物体在A点时的速度大小；(2)物体离开C点后还能上升的高度．[解析](1)物体从A点运动到B点只有重力做功，设最低点B为零势能参考平面，由机械能守恒定律得12mv20＋mgh＝12mv2，而h＝3R，v＝3gR，解得v0＝3gR．(2)物体由B点运动到C点再到最高点的过程，满足机械能守恒，设物体离开C点后还能上升h′，由机械能守恒定律得12mv2＝mg(R＋h′)，v＝3gR，解得h′＝3．5R．[答案](1)3gR(2)3．5R1．如图所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好摆到最低点B位置时线被拉断，设摆线长l＝1．6m，O点离地高H＝5．8m，不计绳断时的机械能损失，不计空气阻力，g取10m/s2，求：(1)摆球刚到达B点时的速度大小；(2)落地时摆球的速度大小．解析：(1)摆球由A到B的过程中只有重力做功，故机械能守恒．根据机械能守恒定律得mg(1－sin30°)l＝12mv2B则vB＝2gl（1－sin30°）＝gl＝10×1.6m/s＝4m/s．(2)设摆球落地点为题图中的D点，则摆球由B到D过程中只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒定律得12mv2D＝mg(H－l)＋12mv2B则vD＝v2B＋2g（H－l）＝42＋2×10×（5.8－1.6）m/s＝10m/s．答案：(1)4m/s(2)10m/s多物体组成的系统机械能守恒如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的钩码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使钩码从静止开始下降h(小于桌高)的距离，木块仍没离开桌面，则钩码的速度为多少？[解析]M、m做初速度为零的匀加速直线运动，在运动过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒．法一：用ΔEk增＝ΔEp减求解．在钩码下降h的过程中，系统增加的动能为ΔEk增＝12(M＋m)v2系统减少的重力势能为ΔEp减＝Mgh由ΔEk增＝ΔEp减得12(M＋m)v2＝Mgh解得v＝2MghM＋m＝233gh．法二：用E初＝E末求解．设M开始时离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为零势能参考平面，则系统的初机械能为E初＝－Mgx系统的末机械能为E末＝－Mg(x＋h)＋12(M＋m)v2由E初＝E末得－Mgx＝－Mg(x＋h)＋12(M＋m)v2解得v＝233gh．法三：用ΔEA增＝ΔEB减求解．在M下降的过程中，m增加的机械能为ΔEm增＝12mv2M减少的机械能为ΔEM减＝Mgh－12Mv2由ΔEm增＝ΔEM减得12mv2＝Mgh－12Mv2解得v＝233gh．[答案]233gh2．质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0．8m，如图所示，若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动，取g＝10m/s2．求：(1)物体A着地时的速度；(2)物体A着地后物体B能沿斜面继续上滑的最大距离．(斜面足够长)解析：(1)在A下落的过程中，A、B组成的系统只有重力和系统内轻绳上弹力做功，系统机械能守恒，取地面为零势能面，则mgh＝mghsin30°＋12(2m)v2代入数值解得v＝2m/s．(2)A着地后，B沿斜面上滑过程中只有重力做功，B的机械能守恒，沿斜面的速度减为零时，上滑的距离最大，则mghsin30°＋12mv2＝mg(h＋sm)sin30°代入数值解得sm＝0．4m．答案：(1)2m/s(2)0．4m功能关系的分析物体以60J的初动能从A点竖直上抛，上升到某高度时动能损失30J．而机械能损失10J．设空气阻力大小恒定，求落回A点时动能应为多少？[解析]物体损失的动能等于物体克服外力做的功(包括克服重力做功和克服空气阻力做功)，损失的动能ΔEk＝mgh＋fh＝(mg＋f)h①损失的机械能等于克服空气阻力做的功，ΔE＝fh②①②得ΔEkΔE＝mg＋ff＝常数，与h无关由题知此常数ΔEkΔE＝31，则物体上升到最高点时动能减少了60J，损失的机械能为20J，故物体从开始上抛到落回原处的过程中机械能总共损失40J．因此它落回A点时的动能为20J．[答案]20J3．(多选)如图所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g．若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的()A．动能损失了2mgHB．动能损失了mgHC．机械能损失了mgHD．机械能损失了12mgH解析：选AC．运动过程中有摩擦力做功，考虑动能定理和功能关系．物块以大小为g的加速度沿斜面向上做匀减速运动，运动过程中F合＝mg，由受力分析知摩擦力f＝12mg，当上升高度为H时，位移s＝2H，由动能定理得ΔEk＝－2mgH；由功能关系知ΔE＝Wf＝－12mgs＝－mgH，选项A、C正确．