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第四节机械能守恒定律1．一人用力踢质量为1kg的足球，使球以10m/s的水平速度飞出，设人踢球的平均作用力为200N，球在水平方向滚动的距离为20m，则人对球做功为(g取10m/s2)()A．50JB．200JC．4000JD．6000J【答案】A【解析】人对足球做功的过程只是在踢球的瞬间，球在空中飞行以及在地面上滚动的过程中，都不是人在做功，所以人对足球做功的过程就是足球获得的动能．根据动能定义式Ek＝12mv2得人对足球做的功为50J.2．在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为()A．v0＋2ghB．v0－2ghC．v20＋2ghD．v20－2gh【答案】C3．(2017钦南期末)物体在平衡力作用下运动，下面哪种说法正确()A．物体机械能不变，动能和重力势能可以相互转化B．物体的动能不变，重力势能一定变化C．机械能一定不变D．如果物体的重力势能有变化，那么物体的机械能一定有变化【答案】D【解析】物体若做水平匀速直线运动，动能和势能不会相互转化，动能不变，重力势能也不变，机械能也不变，故A、B错误．物体受平衡力，除了重力之外还有另外的力，若重力势能变化，则说明重力做功，则说明另外的力也做了功，物体的机械能一定变化，故C错误，D正确．一、机械能1．定义：动能与势能(包括____________和__________)统称为_________．2．相互转化：动能和势能间能够相互转化，动能和势能间的相互转化是通过_______________做功实现的．重力势能弹性势能机械能重力(或弹力)飞流直下的瀑布，为什么落差越大，下落的速度就越大？【答案】瀑布下落时，重力做正功，重力势能不断减小，而动能不断增大；落差越大，重力做功越多，动能就越大，即速度越大．二、机械能守恒定律1．推导过程研究做自由落体运动的物体，经过高度为h1的B点时速度为v1，下落到高度为h2的C点时速度为v2，如右图所示研究从B到C的这段运动过程：由动能定理WG＝____________________，由重力做功与重力势能变化的关系WG＝______________，所以mgh1＋12mv21＝________________，即Ep1＋Ek1＝___________.12mv22－12mv21mgh1－mgh2mgh2＋12mv22Ep2＋Ek22．内容(1)在只有____________的情形下，物体的动能和势能相互转化，而总的机械能_____________．(2)在只有____________的情形下，弹性势能和动能可以相互转化，但总的机械能______________．3．表达式Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1或E2＝____.4．守恒条件：只有______做功(或______做功)．重力做功保持不变弹力做功保持不变E1重力弹力如果一个物体所受的合外力为零，其机械能一定守恒吗？【答案】不一定，物体所受合外力为零，即合外力做功为零，物体的动能不变，但重力势能不一定不变，例如物体在竖直方向做匀速直线运动时，合外力为零，动能不变，但重力势能改变，所以物体的机械能不守恒．1．研究对象(1)当只有重力做功时，可取一个物体(其实是物体与地球构成的系统)作为研究对象．(2)当物体之间的弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象(使这些弹力成为系统内力)．正确理解机械能守恒定律2．守恒条件(1)从能量特点看：只有系统动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)转化，则系统机械能守恒．如物体间发生相互碰撞、物体间发生相对运动，又有相互间的摩擦作用时有内能的产生，机械能一般不守恒．(2)从机械能的定义看：动能与势能之和是否变化．如一个物体沿斜面匀速(或减速)滑下，动能不变(或减小)，势能减小，机械能减少，一个物体沿水平方向匀速运动时机械能守恒，沿竖直方向匀速运动时机械能不守恒．(3)从做功特点看：只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：①只受重力(或系统内的弹力)，如：所有做抛体运动的物体(不计阻力)．②还受其他力，但只有重力(或系统内的弹力)做功，如图甲、乙所示．甲图中，如不计空气阻力，小球在摆动过程中线的拉力不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒．乙图中，不计空气阻力，球在摆动过程中．只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒．③其他力做功，但做功的代数和为零，如图丙、丁所示．如图丙所示，A、B构成的系统，忽略绳的质量和绳与滑轮间的摩擦，在A向下、B向上运动过程中，FA和FB都做功，但WA＋WB＝0，不存在机械能与其他形式能量的转化，则A、B系统机械能守恒．丁图中，A、B间及B与接触面间的摩擦均不计，A自B上端自由下滑时，B沿地面滑动中，B对A的弹力做功，故A的机械能不守恒．A对B的弹力做功．故B的机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒．特别提醒：机械能守恒的条件不是合外力的功等于零，也不是合外力等于零；对单个物体从做功的力的特点去分析，对于物体系统从能量转化角度去分析相对比较简单．例1下列关于机械能是否守恒的叙述正确的是()A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒B．做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒C．合力对物体做功为零时，机械能一定守恒D．只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒题眼直击：正确理解机械能守恒的条件．解题流程：答案：BD题后反思：(1)用做功来判断：分析物体或系统的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．(2)用能量转化来判定：若系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化(如系统无滑动摩擦力和介质阻力，无化学能的释放，无电磁感应过程等)，则系统机械能守恒．(3)对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等问题机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明或暗示．1．(2018攀枝花期中)如图所示，斜面固定在水平面上，轻质弹簧一端固定在斜面底端，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点，物块与斜面间有摩擦．现将物块从O点推至A点，撤去推力后物块由静止向上运动，经O点到达B点时速度为零，则()A．从A运动到O的过程，物块一直做加速运动B．增大A、O间的距离，物块动能最大的位置保持不变C．物块从A向O运动过程中，弹力做功等于物块机械能的增加量D．物块从O向B运动过程中，动能的减少量等于弹性势能和重力势能的增加量【答案】B【解析】弹簧处于自然长度时物块处于O点，所以在O点，重力沿斜面的分量等于静摩擦力，物体从A向B运动过程，受重力、支持力、弹簧的弹力和滑动摩擦力，由于摩擦力平行斜面向下，当弹力与摩擦力、重力的分力的和相等时速度最大．从A运动到O的过程，物块先做加速运动，后做减速运动，故A错误；由于当弹力与摩擦力、重力的分力的和相等时速度最大，所以该位置与AO之间距离的大小无关，故B正确；物块从A向O运动过程中，弹力做功，转化为物块的机械能与内能，所以弹力做功大于物块机械能的增加量，故C错误；物块从O向B运动过程中，动能的减少量转化为弹性势能、重力势能和内能，动能的减少量大于弹性势能和重力势能的增加量，D错误．1．守恒定律的多种表达式当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的表达式有以下几种：(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和．(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEp＝－ΔEk，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量．机械能守恒定律的基本应用2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在运动过程中的始态和末态的机械能(数值或表达式)．(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．特别提醒：(1)利用哪种表达式列机械能守恒定律的方程要视具体情况而定，千万不要把几种表达式混在一起列式．(2)第二种表达式研究的是变化量，不需选择参考平面，但在具体问题中，一定要弄清楚是增加量还是减少量．例2如右图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达B点时速度的大小．解析：利用机械能守恒定律解题的一般步骤：(1)明确研究对象；(2)对物体进行受力分析，研究运动中各力是否做功，判断物体的机械能是否守恒；(3)选取参考平面，确定物体在初、末状态的机械能；(4)根据机械能守恒定律列方程求解(选取不同的参考平面，方程式不同，这不影响解题结果，故参考平面的选取应以解题方便为原则)．物体抛出后运动过程中只受重力作用，机械能守恒．选地面为参考面，则mgH＋12mv20＝mg(H－h)＋12mv2B，解得vB＝v20＋2gh，若选桌面为参考面，则12mv20＝－mgh＋12mv2B，解得vB＝v20＋2gh.答案：v20＋2gh题后反思：解决关于系统中机械能守恒的问题时，必须要找准系统，正确判断系统机械能是否守恒．如果系统中发生能量的转化，则首先考虑机械能是否守恒，应用机械能守恒定律解题，只需分别表示出系统初、末态的总机械能，列出等式即可求解，也可用ΔEA增＝ΔEB减来求解．2．如图所示，一小物块以速度v0＝10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑的曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上水平飞出．当高台的高度h多大时，小物块飞行的水平距离s最大？这个距离是多少？(g取10m/s2)【答案】当h＝2.5m时s最大，s＝5m1．对于多物体组成的系统，系统内的各个物体机械能不一定守恒，但系统的机械能可能守恒．若系统未与外界发生机械能交换，只是系统内各物体间动能和势能的相互转化，则系统中总的机械能守恒．机械能守恒定律在多物体系统中的应用2．表达式(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即系统各物体初状态的动能与势能之和等于末状态各物体的动能与势能之和．(2)ΔEA＝－ΔEB.即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量．(3)ΔEk总＝－ΔEp总或ΔEp总＝－ΔEk总，即系统中总的势能减少量等于系统内各物体动能的增加量，反之亦然．特别提醒：(1)系统内物体间若没有滑动摩擦力、打击、碰撞、绳子绷紧等机械能损失的因素，只有动能与势能间的转化，则系统机械能是守恒的．(2)应用表达式(1)时应注意参考平面必须统一，而用表达式(2)(3)列方程时，不需选取参考平面．例3如右图所示，物体A和B系在跨过定滑轮的细绳两端，物体A的质量mA＝1.5kg，物体B的质量mB＝1kg.开始时把A托起，使B刚好与地面接触，此时物体A离地高度为h＝1m．放手让A从静止开始下落，g取10m/s2，求：(1)当A着地时，A的速度多大？(2)物体A落地后，B还能上升多高？题眼直击：A、B构成的系统机械能守恒．解题流程：(1)在A从静止开始下落的过程中，绳的拉力对A做负功，对B做正功．正、负功大小相等，总和为零，所以对A、B组成的系统而言，绳子的拉力不做功，只有重力做功，系统机械能守恒．(2)A落地后，B以2m/s的初速度做竖直上抛运动，此过程中B的机械能守恒，设它能达到的最大高度为h′，则答案：(1)2m/s(2)0.2m题后反思：由两个或两个以上物体组成的系统中，虽然每个物体的机械能不守恒，但若系统的总机械能守恒，仍可对系统用机械能守恒定律求解．3．如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面垂直距离为12H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落．若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值．滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计．【答案】1∶2【解析】设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得m2gH2－m1gH2sin30°＝12(m1＋m2)v2，①A物体以v上滑到顶点过程中