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磁场小专题1带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题要点综述1．临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．临界问题的一般解题模式为：(1)找出临界状态及临界条件；(2)总结临界点的规律；(3)解出临界量；(4)分析临界量列出公式．带电体进入有界磁场区域，一般存在临界问题，(1)带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零．(2)射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切．2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．3．临界问题常用分析方法(1)“放缩圆法”：如图，一束带电粒子垂直射入匀强磁场，初速度方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度方向的直线上，其轨迹为半径放大的动态圆，利用放缩的动态圆，可以找出与右边界相切的“临界轨迹”．(2)“旋转圆法”：如图，一束带电的粒子垂直射入匀强磁场，初速度大小相同，方向不同，所有粒子运动的轨道半径相同，运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆，通过旋转圆确定粒子“临界轨迹”．4．寻找临界点常用的结论(1)带电粒子刚好穿出磁场边界的条件是：在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)速度的极值根据临界圆的半径判断，半径越大速度越大．(3)时间的极值根据临界轨迹的圆心角判断，圆心角越大时间越长．当速率一定时，也可根据弧长(或弦长)判断，弧长(或弦长)越长时间越长．题型透析单面边界磁场(多选)如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1cm，中点O与S间的距离d＝4.55cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4T，电子质量m＝9.1×10－31kg，电量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力，电子源发射速度v＝1.6×106m/s的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则()A．θ＝90°时，l＝9.1cmB．θ＝60°时，l＝9.1cmC．θ＝45°时，l＝4.55cmD．θ＝30°时，l＝4.55cm【解析】电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：evB＝mv2R，R＝mvBe＝4.55×10－2m＝4.55cm＝L2，利用“旋转圆法”：θ＝90°时，击中板的范围如图甲，l＝2R＝9.1cm，A项正确；θ＝60°时，击中板的范围如图乙所示，l＜2R＝9.1cm，B项错误；θ＝30°时，如图丙所示l＝R＝4.55cm，D项正确．θ＝45°时，击中板的范围如图丁所示，l＞R(R＝4.55cm)，C项错误．【答案】AD平行边界磁场如图所示，竖直线MN∥PQ，MN与PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与MN成θ＝60°角射出的粒子恰好垂直PQ射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为()A.πa3vB.23πa3vC.4πa3vD.2πav【解析】利用“旋转圆法”：当θ＝60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，则a＝Rsin30°，即R＝2a.设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运行的时间为t＝α2πT，即α越大，粒子在磁场中运行的时间越长，α最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切，如图乙所示，因R＝2a，此时圆心角αm为120°，即最长运行时间为T3，而T＝2πRv＝4πav，所以粒子在磁场中运动的最长时间为4πa3v，C项正确．【答案】C直角边界磁场如图所示，在x0，y0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的某点P(不在原点)沿着与x轴成30°角的方向射入磁场．不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是()A．只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点B．粒子在磁场中运动所经历的时间一定为5πm/3qBC．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm/qBD．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm/6qB【解析】利用“放缩圆法”：根据同一直线边界上粒子运动的对称性可知，粒子不可能通过坐标原点，A项错误；粒子运动的情况有两种，一种是从y轴边界射出，对应轨迹①时，对应最短时间t1＝T2＝πmqB，C项正确，故D项错误；另一种是从x轴边界飞出，如轨迹③，时间t3＝56T＝5πm3qB，此时粒子在磁场中运动时间最长，故B项错误．【答案】C三角形边界磁场如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为em的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为()A．B＞2mv0aeB．B＜2mv0aeC．B＞3mv0aeD．B＜3mv0ae【解析】由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝a2cos30°＝a3，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a3，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝mvqB有a3＜mv0eB，即B＜3mv0ae，选D项．【答案】D矩形边界磁场如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤a2范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源．在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间，恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦值．【解析】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB＝mv2R解得R＝mvqB，当a2＜R＜a时，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应圆心角最大，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示．设粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，t＝T4，∠OCA＝π2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得Rsinα＝R－a2Rsinα＝a－Rcosα，又sin2α＋cos2α＝1解得R＝(2－62)a，v＝(2－62)aqBm，sinα＝6－610【答案】v＝(2－62)aqBmsinα＝6－610圆形边界磁场如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？【解析】(1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝3r3，又qv1B＝mv12R1得v1＝3Bqr3m.(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2，则由几何关系有(2r－R2)2＝R22＋r2可得R2＝3r4，又qv2B＝mv22R2，可得v2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m.【答案】(1)3Bqr3m(2)3Bqr4m如图所示，三角形ABC为等腰直角三角形，其中AB边为3m，BCED为矩形，其中BD边为2m，在三角形ABC中有一方向竖直向下的匀强电场，电场强度为E1＝103N/C，在矩形BCED中有电场和磁场，其中电场E2竖直向上，且E2＝E1＝103N/C，磁场方向垂直于纸面向里．质量为m，电荷量为q的带电微粒从A点以初速度v0水平抛出并进入三角形中，经过一段时间后恰好垂直于BC边进入矩形中，并在矩形中做匀速圆周运动，已知g取10m/s2，求：(1)初速度v0的大小为多少？(2)要使微粒能从BD边射出，则磁感应强度B的大小取值范围为多少？【解析】(1)在矩形区做匀速圆周运动，有：qE2＝mgE2＝E1在三角形区，由牛顿第二定律，得：mg＋qE1＝ma解得：a＝2g如图微粒到过BC边上P点时，速度与BC边垂直，故速度偏转角为45°，故：tan45°＝atv0，x＝v0t，y＝12gt2，由几何知识得：x＋y＝AB＝3m，联立解得：v0＝210m/s；(2)由以上各式可解得：t＝1010s，x＝2m，y＝1m，故PB＝2m，P点速度为：v＝2v0＝45m/s，若粒子恰好从B点离开，则半径R1＝12BP＝22m，根据牛顿第二定律，有：qvB1＝mv2R1，解得：B1＝40010T，若粒子恰好从D点离开，则半径：R2＝2m，qvB2＝mv2R2，解得：B2＝20010T，可见，要使粒子从BD边射出，则：20010T≤B≤40010T.【答案】(1)210m/s(2)20010T≤B≤40010T注意事项分析临界问题要注意(1)从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律。(2)数学方法和物理方法的结合．如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值．