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3．6带电粒子在匀强磁场中的运动学习目标学习重点考查热度理解带电粒子的初速度方向与磁感应强度的方向垂直时，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动★★★★★会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期公式，知道它们与哪些因素有关★★★★★基础梳理一、带电粒子在匀强磁场中运动常见的两种情况1．匀速直线运动带电粒子的速度方向与磁场方向平行(相同或相反)．此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以速度v做匀速直线运动．2．匀速圆周运动带电粒子垂直射入匀强磁场，由于洛伦兹力始终和运动方向垂直，因此不改变速度大小，但是不停地改变速度方向，所以带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力．二、匀速圆周运动时的轨道半径和周期1．建立模型如图所示，一个质量为m、带电荷量为q的正电荷，以速度v在垂直磁感应强度为B的匀强磁场中，由于运动电荷所受的洛伦兹力始终与速度垂直，不会对运动电荷做功，所以运动电荷的速度大小不变，做匀速圆周运动．2．规律推导根据洛伦兹力提供向心力得方程：qvB＝mv2r，由此解得轨道半径为：r＝mvqB，将r＝mvqB代入周期公式T＝2πrv，解得轨道周期T＝2πmqB.3．规律理解公式r＝mvqB表明，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径与粒子的速度成正比，与磁场的磁感应强度成反比；公式T＝2πmqB表明，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速率无关．4．规律应用带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动圆心、半径、轨迹、时间的确定．在解决这类问题时，如何确定圆心、画出粒子的运动轨迹、半径及圆心角，找出几何关系是解题的关键．(1)圆心的确定：①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图所示，图中P为入射点，M为出射点)．②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．(2)半径的确定和计算：半径的计算，一般是利用几何知识、常用三角函数关系、三角形知识来求解．(3)在磁场中运动时间的确定：一般而言，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动时间具有周期性特点．如果通过的圆弧对应的圆心角是圆周的n倍，则运动时间就为周期T的n倍．利用圆心角与弦切角的关系，或是四边形内角和等于360°计算出圆心角θ，则带电粒子在磁场中的运动时间表示为：t＝θ2πT(或t＝θRv)．规律方法考点鸟瞰高考热度考点一：带电粒子在有界磁场中的运动★★★★★考点二：带电粒子的“磁偏转”和“电偏转”★★★考点三：带电粒子在磁场中运动的多解问题★★★★★考点四：带电粒子在交变磁场中的运动★★★★考点一带电粒子在有界磁场中的运动1．带电粒子在常见有界磁场中的运动一般有以下情况(1)直线边界(进出磁场具有对称性)如下图：(2)平行边界(存在临界条件)如下图：(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出)如下图：2．解题三步法(多选)如图所示，在直角三角形abc中，有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B.在a点有一个粒子发射源，可以沿ab方向源源不断地发出速率不同，电荷量为q(q0)、质量为m的同种粒子．已知∠a＝60°，ab＝L，不计粒子的重力，下列说法正确的是()A．在磁场中通过的弧长越长的粒子，在磁场内运动的时间就越长B．从ac边中点射出的粒子，在磁场中的运动时间为2πm3qBC．从ac边射出的粒子的最大速度值为2qBL3mD．bc边界上只有长度为L的区域可能有粒子射出【解析】带电粒子在磁场中运动的时间是看圆心角的大小，而不是看弧的长短，A项错误；作出带电粒子在磁场中偏转的示意图，从ac边上射出的粒子，所对的圆心角都是120°，所以在磁场中运动的时间为t＝13T＝2πm3qB，B项正确；从ac边射出的最大速度粒子的弧线与bc相切，如图所示，半径为L，由R＝mvqB⇒v＝qBRm＝qBLm，C项错误；如图所示，在bc边上只有Db＝L长度区域内有粒子射出，D项正确，选B、D两项．【答案】BD【设置目的】带电粒子在直线边界的有界磁场中的运动`(多选)如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B、垂直纸面向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出磁场时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的()A．带电粒子的比荷B．带电粒子在磁场中运动的周期C．带电粒子的初速度D．带电粒子在磁场中运动的半径【解析】由带电粒子在磁场中运动的偏转角，可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60°，因此由几何关系得磁场宽度l＝rsin60°＝mv0qBsin60°，又未加磁场时有l＝v0t，所以可求得比荷qm＝sin60°Bt，A项正确；周期T＝2πmqB也可求出，B项正确；因初速度未知，所以C、D两项错误．【答案】AB【设置目的】带电粒子在平行边界的有界磁场中的运动如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角．磁场的磁感应强度大小为()A.mvqRtanθ2B.mvqRcotθ2C.mvqRsinθ2D.mvqRcosθ2【解析】粒子轨迹如图，根据几何关系r＝Rcotθ2，再根据qvB＝mv2r，解得B＝mvqRcotθ2，故B项正确．【答案】B【设置目的】带电粒子在圆形边界的有界磁场中的运动模型拓展带电粒子在磁场中运动常见“四个模型”模型一：直线形磁场边界，带电粒子射入、射出磁场时与边界夹角相等，如图1，∠θ＝∠α.模型二：如图2，圆形磁场边界，带电粒子沿径向射入磁场，必然背离圆心射出磁场模型三：如图3，带电粒子速度的偏转角φ，等于该圆弧轨迹所对应的圆心角θ.模型四：轨迹圆与磁场圆相交，两圆圆心连线将是两个圆的对称轴，是∠AO′B的角平分线(如图4)．考点二带电粒子的“磁偏转”和“电偏转”偏转项目垂直进入磁场垂直进入电场情景图受力FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心FE＝qE，FE大小、方向均不变，方向与初速度垂直运动性质匀速圆周运动类平抛运动运动时间t＝θ2πT＝θmBqt＝Lv0动能不变增大在如图所示宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度是v0的某种正粒子偏转θ角．在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，使该粒子穿过该区域，并使偏转角也为θ(不计粒子的重力)，问：(1)匀强磁场的磁感应强度是多大？(2)粒子穿过电场和磁场的时间之比是多大？(3)若上述电场和磁场同时存在，粒子能否沿直线运动？【解析】(1)设宽度为L.当只有电场存在时，带电粒子做类平抛运动水平方向上：L＝v0t，竖直方向上：vy＝at＝EqLmv0tanθ＝vyv0＝EqLmv02当只有磁场存在时，带电粒子做匀速圆周运动，半径为R，如图所示，由几何关系可知sinθ＝LR，R＝mv0qB联立解得B＝Ecosθv0.(2)粒子在电场中运动时间t1＝Lv0＝Rsinθv0在磁场中运动时间t2＝θ2π·T＝θ2π·2πmqB＝θmqB所以t1t2＝RqBmv0·sinθθ＝sinθθ.(3)电场、磁场同时存在时，F电＝qE，F洛＝qv0B＝qEcosθ，由于F电F洛，粒子不能沿直线运动，将向下偏转．【答案】(1)Ecosθv0(2)sinθθ(3)不能沿直线运动考点三带电粒子在磁场中运动的多解问题1．带电粒子的电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．如甲图，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b.2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．如乙图，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b.3．临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图甲所示，于是形成了多解．4．运动的周期性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图乙所示．带电粒子电性不确定形成多解带电粒子可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解．如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少．【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷．若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的14圆弧，轨道半径：R＝mvBq，又d＝R－R2解得v＝(2＋2)Bqdm.若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的34圆弧，则有：R′＝mv′Bqd＝R′＋R′2，解得v′＝(2－2)Bqdm.【答案】(2＋2)Bqdm(q为正电荷)或(2－2)Bqdm(q为负电荷)磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．(2016·商丘模拟)(多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是()A.4qBmB.3qBmC.2qBmD.qBm【解析】依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝mv2R，得v＝4BqRm，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝vR＝4Bqm；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv＝mv2R，v＝2BqRm，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝vR＝2Bqm，应选A、C两项．【答案】AC带电粒子速度不确定形成多解有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解．(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷qm＝k，则质子的速度可能为()A．2BkLB.BkL2C.3BkL2D.BkL8【解析】因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝Ln(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝mv2r，即v＝Bqrm＝Bk·Ln(n＝1，2，3，…)，B、D两项正确．【答案】BD带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解．如图所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ＝60°，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B.离子源中的离子带电荷量为＋q，质量为m，通过小孔O1进入两板间电压为U的加速电场区域(可认为初速度为零)，离子经电场加速后由小孔O2射出，再从O点进入磁场区域Ⅰ，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN，不计离子的重力．(1)若加速电场两极板间电压U＝U0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R0；(2)在OQ上有一点P，P点到O点的距离为L，若离子能通过P点，求加速电压U