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第二节向心力1．(2017闵行一模)做匀速圆周运动的物体()A．一定是受力平衡的B．一定是受力不平衡的C．视情况而定，有可能平衡，有可能不平衡D．所受的向心力一定与其他外力平衡【答案】B【解析】匀速圆周运动速度大小不变，方向变化，是变速运动，不可能处于平衡状态，故A、C错误，B正确．做匀速圆周运动的物体受到的合外力提供向心力，不能说做匀速圆周运动的物体受到向心力，故D错误．2．关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是()A．半径一定，角速度与线速度成反比B．半径一定，角速度与线速度成正比C．线速度一定，角速度与半径成正比D．角速度一定，线速度与半径成反比【答案】B【解析】由v＝ω·r可知，r一定时，ω∝v，故A错，而B正确．v一定时，ω∝1r，故C错；ω一定时，v∝r，故D错．3．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则()A．ω1＞ω2，v1＞v2B．ω1＜ω2，v1＜v2C．ω1＝ω2，v1＜v2D．ω1＝ω2，v1＝v2【答案】C一、向心力1．定义：做匀速圆周运动的物体受到的方向沿半径指向______的力．2．作用效果：不改变质点速度的______，只改变速度的______．3．方向：沿半径指向______，和质点运动的方向______，其方向时刻在改变．圆心大小方向圆心垂直4．实验与探究实验目的探究影响向心力大小的因素实验方法控制变量法探究过程m、r相同改变角速度ω，则ω越大，向心力F就______m、ω相同改变半径r，则r越大，向心力F就______ω、r相同改变质量m，则m越大，向心力F就______越大越大越大越大5．大小：F＝________＝______.实验目的探究影响向心力大小的因素实验方法控制变量法结论物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成______，与半径成______，与角速度的二次方成______正比正比正比mω2rmv2r质量为m的物体做匀速圆周运动，由F＝mrω2知F跟r成正比；由F＝mv2r知F跟r成反比，F与r是成正比还是成反比？【答案】一个做匀速圆周运动的物体如果角速度ω不变，则由F＝mrω2知向心力F与r成正比；如果线速度v大小不变，则由F＝mv2r知向心力F与r成反比．二、向心加速度1．定义：由向心力产生的指向______方向的加速度．2．大小：a＝______＝________.3．方向：与向心力方向______，始终指向______，时刻在改变．圆心rω2v2r一致圆心匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？【答案】由于匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻在改变，所以向心加速度是变加速度，匀速圆周运动是变加速曲线运动．三、生活中的向心力1．汽车在水平公路上转弯车轮与路面间的__________提供向心力，即F＝mv2R.2．汽车在倾斜的路面上转弯汽车恰好以速度v行驶时，重力和__________的合力充当向心力，即mgtanθ＝mv2R.(R为弯道半径，θ为倾斜的角度)静摩擦力地面支持力1．向心力的来源：向心力是根据力的作用效果命名的．可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力．对向心力的理解2．向心力的大小F＝ma＝mv2r，mω2r，mvω，m2πT2r，m2πn2r.3．对公式的理解(1)向心力公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．(2)向心力公式具有瞬时性，即式中各量对应同一时刻．(3)当m、ω一定时，由F＝mrω2知F∝r；当m、v一定时，由F＝mv2r知F∝1r.特别提醒：(1)在匀速圆周运动中，物体所受的合外力一定指向圆心，充当向心力．非匀速圆周运动的合外力不指向圆心，合外力的法向分力为向心力．(2)任何情况的圆周运动，向心力的方向一定指向圆心，向心力是做圆周运动的物体需要的一个指向圆心的力，而不是物体又受到一个新的力．例1一圆台可绕通过圆台中心O且垂直于台面的竖直轴转动．在圆台上放置一木块A，随圆台一起做匀速圆周运动，如图所示，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是()A．木块A受重力、支持力和向心力的作用B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心题眼直击：匀速圆周运动的合力就是向心力且指向圆心．解题流程：答案：D题后反思：向心力是按效果命名的．任何一个力或几个力的合力，只要它能使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力．1．(2017陕西学业考)将细线一端固定，另一端系一小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线偏离竖直方向θ角，如图，忽略空气阻力，则小球运动的向心力是()A．重力B．重力与拉力的合力C．细线的拉力D．重力、拉力之外的第三个力【答案】B【解析】小球受到重力和细线的拉力，因为小球做匀速圆周运动，所以由重力与细线对小球拉力的合力提供向心力．故A、C、D错误，B正确．1．向心加速度的物理意义向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小．向心加速度及公式应用2．向心加速度的公式a＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝ωv.3．向心加速度与半径的关系(1)a＝rω2，若角速度ω相同，则向心加速度与半径成正比，如图(a)所示；(2)由a＝v2r，若线速度v相同，则向心加速度与半径成反比．如图(b)所示．4．非匀速圆周运动中的向心加速度匀速圆周运动中的向心加速度就是物体的实际加速度．而非匀速圆周运动中，向心加速度是物体的加速度在指向圆心方向上的分量．特别提醒：(1)向心加速度的方向时刻改变，匀速圆周运动是一种变加速运动．(2)在非匀速圆周运动中，向心加速度的公式仍适用，但要注意公式中各量对应同一时刻．例2如图所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R＞r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则()A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度解析：因为两轮的转动是通过皮带传动的，又因皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等，在O1轮边缘上任取一点Q，因为R＞r，所以由a＝v2r可知，aQ＜aM，再比较Q、N两点的向心加速度大小，因为Q、N是在同一轮上的两点，所以角速度ω相等，又因为RQ＞RN，则由a＝ω2r可知，aQ＞aN，综上可见，aM＞aN.选项A正确．答案：A题后反思：分析传动问题关键有两点：其一是同一轮上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度相同．再正确选择a＝ω2r或a＝v2r，进行求解．2．(2018滁州月考)如图，自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RA＝2RB、RC＝5RB，正常骑行自行车时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于()A．1∶1∶6B．3∶1∶6C．1∶2∶10D．1∶3∶6【答案】C【解析】A、B两轮边缘线速度大小相等，RA∶RB＝2∶1，根据v2R知，aA∶aB＝1∶2.B、C角速度大小相等，RB∶RC＝1∶5，根据a＝Rω2知，aB∶aC＝1∶5.所以aA∶aB∶aC＝1∶2∶10.C正确，A、B、D错误．生活中的圆周运动1．汽车在倾斜路面上转弯(1)向心力来源：重力mg和支持力N的合力F提供向心力，即mgtanθ＝mv2R.其中R为弯道半径，θ为倾斜的角度．(2)分析讨论：当弯道半径R，倾角θ一定时．①若v＝gRtanθ，重力和支持力的合力F恰好提供向心力．②若v＞gRtanθ，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时，汽车受静摩擦力f沿斜面指向弯道内侧．③若v＜gRtanθ，重力和支持力的合力大于向心力．此时，汽车受静摩擦力f沿斜面指向弯道外侧．2．圆锥摆运动(1)运动特点：如图甲所示在水平面内做匀速圆周运动．(2)向心力分析：如图乙所示绳的拉力和重力的合力(或者说绳的拉力在水平方向的分力)提供向心力．F＝mg·tanθ.向心加速度a＝gtanθ.甲乙特别提醒：应用向心力公式解题的思路(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．(2)分析运动情况，确定它的轨道平面、圆心、半径，分析向心加速度的大小、方向．(3)明确什么力在充当向心力．(4)由向心力公式列方程并求解．例3如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块．求：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．题眼直击：向心力为指向圆心方向的合力．解题流程：解析：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得摩擦力的大小f＝mgsinθ＝mgHH2＋R2，支持力的大小N＝mgcosθ＝mgRH2＋R2.(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点受到重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω，有mgtanθ＝mω2·R2，由几何关系得tanθ＝HR，联立以上两式解得ω＝2gHR.答案：(1)mgHH2＋R2mgRH2＋R2(2)2gHR题后反思：用向心力公式解题的应用步骤(1)四确定：确定研究对象、确定轨道平面、确定圆心位置、确定向心力的方向(确定轨道平面和圆心位置是难点)．(2)受力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，明确F向的来源．(3)用合成法或正交分解法去求F向．(4)联立F向＝mω2r＝mv2r＝m2πT2r＝m(2πn)2r相应公式进行求解．3．(2018厦门名校月考)如图所示，在竖直平面内有一个“V”形框架，绕过顶点的竖直轴匀速转动，框架两边与竖直轴的夹角θ＝45°，质量为m的小球A穿在一边的框架上，随框架在水平面内做匀速圆周运动，其运动平面与框架顶点的距离为h，此时小球A与框架间恰好没有摩擦力．现保持框架转动的角速度不变，把小球A的位置上移，小球A仍能与框架保持相对静止状态，其运动平面与框架顶点的距离为1.5h，已知重力加速度为g，则此时小球A与框架间的摩擦力大小为()A．24mgB．22mgC．3－222mgD．mg【答案】A【解析】当小球A与框架间恰好没有摩擦力时，根据牛顿第二定律得ma＝mgtanθ，解得a＝gtanθ，小球的半径为r＝htanθ，小球的向心力为Fn＝ma＝mω2r，则ω2＝ghtan2θ.转速不变，半径增大时，r′＝1.5htanθ.转速不变，半径增大时小球需要的向心力也增大，则小球受到的摩擦力的方向沿杆的方向向下．对小球进行受力分析如图，竖直方向上有Nsinθ＝mg＋fcosθ，水平方向上有Ncosθ＋fsinθ＝mω2r′.将θ＝45°代入公式，联立可得f＝24mg，A正确，B、C、D错误．竖直面内的圆周运动1．绳或圆轨道内侧约束物体的圆周运动如图所示，细绳系着的小球或在圆轨道内侧运动的小球，当它们通过最高点时，有F＋mg＝mv2r.因F≥0，所以v≥gr.当F＝0时，mg＝mv20r，v0＝gr.v0即为物体通过最高点的最小速度．(1)v＝gr时，F＝0，物体刚好通过轨道最高点，对绳、轨道无作用力．(2)v＞gr时，F＞0，物体能通过轨道最高点，对绳、轨道有拉力、压力．(3)v＜gr时，物体没有达到轨道最高点便脱离了轨道．2．在轻杆或管的约束下的圆周运动如下图杆和管对物体能产生拉力，也能产生支持力．当物体通过最高点时有N＋mg＝mv2r，