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第2章研究圆周运动2．2研究匀速圆周运动的规律第2章研究圆周运动1．知道向心力及其方向，理解向心力的作用．2．通过实验理解向心力与哪些因素有关，掌握向心力的公式及其变形．(重点)3．知道向心加速度，掌握向心加速度的公式及其变形．(重点)4．能用牛顿第二定律知识分析匀速圆周运动的向心力．(难点)一、向心加速度1．定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向______的加速度，叫做向心加速度．2．方向：总指向______，即向心加速度的方向总与速度方向______．3．大小：a＝___＝ω2R＝ωv．4．物理意义：向心加速度是描述物体线速度的______改变快慢的物理量．圆心圆心垂直v2R方向1．(1)匀速圆周运动的向心加速度是变化的．()(2)匀速圆周运动的线速度大小不变，加速度为零．()√×二、向心力1．定义：在匀速圆周运动中，产生向心加速度的力叫做________．2．作用效果：不断改变物体的线速度______、使物体做圆周运动．3．方向：总是沿半径指向______，是一个变力．4．大小：F＝ma＝______＝mω2R．向心力方向圆心mv2R向心力是按力的作用效果命名的，它并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为某种性质的力来命名的，而是一种指向圆心的合力，或某一力的分力．2．(1)做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力．()(2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力．()(3)向心力可以由某种性质的力来充当，是效果力．()××√对向心加速度的理解1．向心加速度的物理意义向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小．2．向心加速度的公式a＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝ωv3．向心加速度与半径的关系(1)由a＝rω2，若角速度ω相同，则向心加速度与半径成正比，如图甲所示；(2)由a＝v2r，若线速度v相同，则向心加速度与半径成反比．如图乙所示．4．非匀速圆周运动中的向心加速度匀速圆周运动中的向心加速度就是物体的实际加速度．而非匀速圆周运动中，向心加速度是物体加速度在指向圆心方向上的分量．(1)向心加速度的方向时刻改变，匀速圆周运动是一种变加速运动．(2)在非匀速圆周运动中，向心加速度的公式仍适用，但要注意公式中各量对应同一时刻．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是()A．它是描述角速度变化快慢的物理量B．它是描述线速度大小变化快慢的物理量C．它是描述线速度方向变化快慢的物理量D．它是描述角速度方向变化快慢的物理量[思路点拨]解题的关键是把握“向心加速度”是描述线速度方向变化“快慢”的物理量．[解析]匀速圆周运动，其角速度大小不变，线速度方向总是与半径垂直，半径转过多少度，线速度的方向就改变多少度，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量．[答案]C真正理解加速度的物理意义，对理解向心加速度很关键．加速度是描述速度变化快慢的物理量，而匀速圆周运动只有方向改变，因此向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量．1．关于向心加速度的下列说法中正确的是()A．向心加速度越大，物体速率变化得越快B．向心加速度的大小与轨道半径成反比C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量解析：选C．向心加速度只改变速度方向，故A不正确．向心加速度可用a＝v2r或a＝ω2r表示，不知线速度和角速度的变化情况，无法确定向心加速度a与轨道半径的关系，故B不正确．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在圆周运动中始终指向圆心，方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动，故C正确，D错误．对向心力的理解理解例证向心力是按力的作用效果来命名的力它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以作为向心力小铁块在匀速转动的圆盘内保持相对静止的原因就是静摩擦力充当向心力；若圆盘是光滑的，就必须用细线拴住小铁块，才能保证小铁块同圆盘一起做匀速转动，这时向心力由细线的拉力提供，如图所示理解例证向心力的作用效果是改变线速度的方向(1)做匀速圆周运动的物体所受的合力即为向心力．它是产生向心加速度的原因，其方向一定指向圆心，是变力上例中，小铁块受到的合力等于静摩擦力，指向圆心，只改变速度的方向，而不改变速度的大小理解例证向心力的作用效果是改变线速度的方向(2)非匀速圆周运动的物体所受的合力不指向圆心，它既要改变速度方向，同时也改变速度的大小，即产生法向加速度和切向加速度小球在竖直光滑圆轨道内侧做非匀速圆周运动，在与圆心等高处所受的重力和弹力的合力不指向圆心，如图所示理解例证向心力的来源(1)一个力充当向心力绳的一端系一个物体，在光滑平面内绕另一端做匀速圆周运动，向心力由绳的拉力提供，如图所示理解例证向心力的来源(2)几个力的合力充当向心力用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动到最低点时，其向心力由绳的拉力和物体的重力(F＝T－mg)两个力的合力充当，如图所示理解例证向心力的来源(3)某个力的分力充当向心力在圆锥摆运动中，小球做匀速圆周运动的向心力则是拉力的分力(F＝mgtanθ，其中θ为摆线与竖直轴的夹角)充当，如图所示理解例证向心力的大小F＝ma＝mv2/r＝mω2·r做匀速圆周运动物体的向心力与物体的质量、线速度或角速度、半径有关系．当线速度一定时，向心力与半径成反比；当角速度一定时，向心力与半径成正比一圆台可绕通过圆台中心O且垂直于台面的竖直轴转动．在圆台上放置一小木块A，它随圆台一起做匀速圆周运动，如图所示，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是()A．木块A受重力、支持力和向心力作用B．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向与木块运动方向相反C．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向与木块运动方向相同D．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向指向圆心[思路点拨]解答本题时可按以下思路分析：[解析]物体A在水平圆盘上，受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，且两力是一对平衡力．由于A随圆盘一起做匀速圆周运动，故其必须有向心力的作用，所以A必定受到静摩擦力作用，静摩擦力一定指向圆心且等于向心力；故D对，B、C错．向心力不是物体受到的力，故A错．[答案]D凡是做圆周运动的物体一定需要向心力．由于向心力是按效果命名的力，所以在受力分析时不要加上向心力，它只能由其他力提供．2．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所受的向心力是()A．绳的拉力B．重力和绳拉力的合力C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力解析：选CD．如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选C、D．圆周运动中临界问题的分析方法物体在做圆周运动的过程中，若所处的运动状态和受力情况受临界条件限制，就会产生临界问题，即会存在临界速度和临界力的问题．解决临界问题常用“临界值法”来分析．1．对物体的圆周运动进行动态分析，分析随转速的变化，向心力如何变化，物体的受力如何变化，通常会涉及弹力和摩擦力的分析．2．确定临界状态：临界状态往往由弹力为零、静摩擦力为零或静摩擦力达到最大值时来确定．3．求解变化范围：先由临界状态时圆周运动的知识求解最值，再由题意要求指出物理量的合理取值范围．(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l．木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg[解析]小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R．当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mω2al，当fa＝kmg时，kmg＝mω2al，ωa＝kgl；对木块b：fb＝mω2b·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω2b·2l，ωb＝kg2l，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fafb，选项B错误；当ω＝kg2l时b刚开始滑动，选项C正确；当ω＝2kg3l时，a没有滑动，则fa＝mω2l＝23kmg，选项D错误．[答案]AC3．如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m＝1kg的小球A，另一端连接质量M＝4kg的重物B(取g＝10m/s2)．求：(1)当A沿半径R＝0．1m的圆做匀速圆周运动，其角速度ω＝10rad/s时，B对地面的压力大小是多少？(2)要使B对地面恰好无压力，A的角速度应为多大？解析：(1)对小球A来说，竖直方向上重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则T＝mRω2＝1×0．1×102N＝10N对重物B来说，受到三个力的作用：重力Mg，绳子的拉力T和地面的支持力N．由力的平衡条件可得T＋N＝Mg所以N＝Mg－T＝(4×10－10)N＝30N，由牛顿第三定律可知，重物B对地面的压力大小为30N，方向竖直向下．(2)当B对地面恰好无压力时，有Mg＝T′拉力T′提供小球A的向心力，则有T′＝mRω′2则ω′＝MgmR＝4×101×0.1rad/s＝20rad/s．答案：(1)30N(2)20rad/s