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第1章机械振动第3节单摆第1章机械振动1.理解单摆做简谐运动的条件和振动特点．2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式，并能用来进行有关计算．(重点＋难点)3.学会用单摆测重力加速度．(重点)一、单摆的运动1．单摆：把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的可以忽略不计，这种装置叫做单摆．2．单摆的运动特点(1)摆球以为圆心，在平面内做圆周运动．(2)摆球同时以最低点O为做往复运动．大小悬点竖直变速平衡位置3．单摆的回复力：如图所示，摆球受重力mg和绳子拉力F′两个力作用，将重力按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的_______力，而重力的切向分力F提供了摆球振动所需的_______力F＝mgsinθ，它总是指向____________．在最大摆角小于5°时，sinθ≈θ≈xl，F的方向可认为与位移x平行，但方向与位移方向_____，所以回复力可表示为F＝______.令k＝mgl，则F＝－kx.向心回复平衡位置相反－mglx1．(1)制作单摆的细线弹性越大越好．()(2)制作单摆的摆球越大越好．()(3)单摆的回复力等于摆球所受合力．()提示：(1)×(2)×(3)×二、单摆的周期1．影响单摆周期因素的实验探究(1)探究方法：法．(2)实验结论①单摆周期与摆球质量．②单摆周期与振幅．③单摆的摆长越长，周期；摆长越短，周期．控制变量无关无关越长越短2．周期公式及应用(1)周期公式是荷兰物理学家首先提出的．(2)单摆的等时性：单摆做简谐运动时，其周期与无关．(3)公式：T＝_________．即T与摆长l的二次方根成，与重力加速度g的二次方根成．(4)应用①计时器(摆钟)a．原理：单摆的性．b．校准：调节可调节钟表的快慢．惠更斯振幅2πlg正比反比等时摆长②测重力加速度由T＝2πlg得，g＝，即只要测出单摆的和，就可以求出当地的重力加速度．4π2lT2摆长周期2．(1)摆球的质量越大，周期越大．()(2)单摆的振幅越小，周期越小．()(3)单摆的摆长越长，周期越大．()提示：(1)×(2)×(3)√单摆的简谐运动1．单摆做简谐运动的条件判断单摆是否做简谐运动，可分析摆球的受力情况，看回复力是否符合F＝－kx的特点，如图．(1)在任意位置P，有向线段OP→为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsinθ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力．(2)在摆角很小时，sinθ≈θ＝xl，G1＝Gsinθ＝mglx，G1方向与摆球位移方向相反，所以回复力表示为F回＝－G1＝－mgxl.令k＝mgl，则F回＝－kx.因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．(摆角一般不超过5°)2．单摆做简谐运动的规律：单摆做简谐运动的位移随时间变化的图象是一条正弦(或余弦)曲线．回复力、加速度、速度、动能、势能都随时间做周期性变化，其变化规律与弹簧振子相同．例如当摆球到达最低点(平衡位置)时，位移、回复力、水平加速度都等于零，而速度、动能都最大，而到达最高点(最大位移处)时，位移、回复力都最大，速度、动能都等于零．(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力．(2)摆球经过平衡位置时，回复力为零，沿圆弧切线方向的加速度为零，但合外力和向心加速度都不等于零．(3)单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是()A．t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大[解析]t1、t3时刻，摆球位移最大，速度为零，由F＝－mglx知，回复力最大，故A、C错误；t2、t4时刻，摆球通过平衡位置，速度最大，线的拉力最大，故B错误，D正确．[答案]D关于单摆的回复力的三点提醒(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力．(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合力不为零.1.关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是()A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B.摆球受重力和绳的拉力两个力作用，A错误；回复力最大时速度为零，所以向心力为零，回复力为零时速度最大，向心力最大，B正确；回复力最大时，张力等于重力沿半径方向的分力，比重力小，C错误；向心力最大时速度最大，摆球在最低点，此时加速度等于向心加速度，与运动方向垂直，D错误．对单摆周期公式的理解由公式T＝2πlg知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期与其摆长l和当地重力加速度g有关，而与振幅和摆球的质量无关，故又叫单摆的固有周期．1．摆长(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应为从悬点到摆球球心的长度，即l＝l线＋d2，l线为摆线长，d为摆球的直径．(2)等效摆长在实际问题中，有些摆的构造与单摆不完全相同，我们可以将其等效为单摆，其等效摆长为摆球圆弧运动的圆心到摆球重心的距离．①如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l，甲、乙图中摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，而且OO′＝l3，求各摆的周期．甲：等效摆长l′＝lsinα，T甲＝2πlsinαg.乙：等效摆长l′＝lsinα＋l，T乙＝2πl（sinα＋1）g.丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O变O′，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为l－l3，即为23l，则单摆丙的周期为T丙＝πlg＋π2l/3g.②如图丁所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2πRg.2．重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝GMR2，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值．(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：此场景中的等效重力加速度g′＝gsinα.球静止在O时，F＝mgsinα，等效加速度g′＝Fm＝gsinα.(1)单摆周期公式是在单摆做简谐运动的前提下成立的．(2)在各种变形摆中，要认真分析“等效摆长”和“等效重力加速度”，灵活运用周期公式，切忌生搬硬套．有一单摆，其摆长l＝1.02m，摆球的质量m＝0.10kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8s，试求：(1)当地的重力加速度；(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变，改变多少？[思路点拨]本题主要考查对单摆周期公式T＝2πlg的理解与变形式的应用．首先要清楚，单摆的周期与摆球的质量无关，同时要明白，秒摆的周期是2s而不是1s.[解析](1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝tn＝60.830s＝2.027s，所以g＝4π2lT2＝4×3.142×1.022.0272m/s2＝9.79m/s2.(2)秒摆的周期是2s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的摆动规律有：TT0＝ll0，故有：l0＝T20lT2＝22×1.022.0272m＝0.993m.其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02m－0.993m＝0.027m.[答案](1)9.79m/s2(2)摆长缩短0.027m2.如图所示是两个单摆的振动图象．(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0时起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？解析：(1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的12，即T甲∶T乙＝1∶2，又由单摆的周期与摆长的关系可知，l甲∶l乙＝1∶4.(2)由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t＝2s，振动到14周期，甲振动到12周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动．答案：(1)1∶4(2)甲振动到12周期，位于平衡位置，此时甲向左运动用单摆测重力加速度1．实验原理：单摆在摆角很小(不超过5°)时，其摆动可以看作简谐运动，其振动周期为T＝2πlg，其中l为摆长，g为当地重力加速度，由此可得g＝4π2lT2.据此，只要测出摆长l和周期T，就可计算出当地重力加速度g的数值．2．实验器材：铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺．3．实验步骤(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．(2)将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．(3)用刻度尺和游标卡尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心间的距离)．(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不大于5°，再释放小球，当摆球摆动稳定以后，过最低位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．(5)改变摆长，反复测量三次，将算出对应的周期T及测得的摆长l代入公式g＝4π2lT2，然后求g的平均值．4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝4π2lT2中求出g值，最后求出g的平均值．设计如表所示实验表格实验次数摆长l(m)周期T(s)加速度g(m/s2)g的平均值1g＝g1＋g2＋g3323(2)图象法：由T＝2πlg得T2＝4π2gl作出T2－l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴．其斜率k＝4π2g，由图象的斜率即可求出重力加速度g.(1)实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球．(2)单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°.(3)测摆长l时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径．(4)应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数．(5)适当增加全振动的测量次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________．若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间为75.2s，单摆摆动周期是________．为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：(1)单摆做简谐运动应满足的条件是_____________________．(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.(结果取两位有效数字)[解题探究](1)怎样确定摆长？摆长等于摆线的长度吗？(2)用图象法处理实验数据时应注意哪些问题？[解析]由T＝2πlg，可知g＝4π2lT2.由图可知：摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50cm＝0.8750m．T＝t40＝1.88s.(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°.(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k＝ΔT2Δl.由g＝4π2ΔlΔT2＝4π2k，