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第1章机械振动第2节振动的描述第1章机械振动1.知道什么是振幅、周期、频率，理解固有周期和固有频率，知道周期和频率的关系．(重点)2．掌握简谐运动的位移—时间图象，了解图象在实际生活中的应用．(重点＋难点)3．知道简谐运动的公式表示x＝Asinωt，知道其中各符号的含义及有关关系．一、振动特征的描述1．振幅：振幅是振动物体离开的最大距离，反映了振动的．振幅是标量，振幅与位移的在数值上相等，但二者不同，因为位移是．2．全振动：振子以相同的速度相继两次通过所经历的过程．3．周期：做简谐运动的物体完成一次经历的时间叫做振动的周期．它是表示的物理量，周期越长，表示物体振动越；周期越短，表示物体振动越．平衡位置强弱最大值矢量同一位置全振动振动快慢慢快4．频率：振动物体在内完成全振动的次数叫做振动的频率．它是表示的物理量，频率越大，表示物体振动越；频率越小，表示物体振动越．周期与频率的关系是或．5．在自由状态下，物体振动的周期(或频率)只由振动物体________________决定，与的大小无关．物体在自由状态下的振动周期(或频率)，叫做(或)．1s振动快慢快T＝1ff＝1T本身的性质固有周期固有频率慢振幅1．(1)振幅就是指振子的位移．()(2)振幅就是指振子的路程．()(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程．()提示：(1)×(2)×(3)×二、简谐运动的图象及公式表达1．简谐运动的图象(1)坐标系的建立：以横轴t表示简谐运动物体的运动，以纵轴x表示做简谐运动的物体运动过程中．(2)图象的意义：表示简谐运动的物体在各时刻相对于平衡位置的．即表示简谐运动的物体偏离平衡位置的位移随时间的变化关系．(3)简谐运动图象的特点：一条曲线，如图所示．时间相对平衡位置的位移位移正弦(或余弦)2．简谐运动的公式(1)表达式：x＝Asinωt＝或x＝Asin(ωt＋φ0)．(2)公式中各符号的含义Asin2πTt(3)圆频率ω与周期(或频率)的关系：ω＝___＝____．2πT2πf2．(1)弹簧振子的x－t图象的曲线就是它的运动轨迹．()(2)弹簧振子的位移是总以平衡位置为起点的位移．()(3)图象中弹簧振子的位移－5cm小于1cm.()(4)简谐运动的表达式不能用余弦函数表示．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)×对振动的理解1．全振动的判断方法(1)振动特征：一个完整的振动过程．(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)第一次同时与初始状态相同．(3)时间特征：历时一个周期．(4)路程特征：振幅的4倍．(5)相位特征：增加2π.2．振幅与振动中几个常见量的关系(1)振幅与位移的关系：振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．(2)振幅与路程的关系振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：①一个周期内的路程为振幅的4倍；②半个周期内的路程为振幅的2倍；③若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，14周期内的路程等于振幅；④若从一般位置开始计时，14周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．(3)振幅与周期(或频率)的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．(4)振幅和振动系统的能量关系：对一个确定的振动系统来说，系统的能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统的能量就越大．(1)振子以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，也是一次全振动．(2)振动物体的周期(或频率)是固有的，而振幅不是固有的，因为振幅的大小，除跟弹簧振子有关外还跟使它起振时外力对振子做功的多少有关．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，B、C相距20cm，某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和频率；(3)振子在5s内通过的路程及5s末位移的大小．[思路点拨]对弹簧振子做简谐运动而言，离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称，其距离为2A.一个全振动的时间叫做周期，周期和频率互为倒数关系．简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离．要注意各物理量之间的区别与联系．[解析](1)振幅设为A，则有2A＝BC＝20cm，所以A＝10cm.(2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此T＝2t1＝1s；再根据周期和频率的关系可得f＝1T＝1Hz.(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40cm，即一个周期运动的路程为40cm，故振子在5s内通过的路程为s＝tT×4A＝5×40cm＝200cm，5s的时间为5个周期，又回到原始点B，故5s末位移的大小为10cm.[答案](1)10cm(2)1s1Hz(3)200cm10cm振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅；在半个周期内的路程一定为两个振幅；在14个周期内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅．只有当振动物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，14个周期内的路程才等于一个振幅.如图所示，弹簧振子在BC间做简谐运动，O点为平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法正确的是()A．振子从B经O到C完成一次全振动B．振动周期是1s，振幅是10cmC．经过两次全振动，振子通过的路程是20cmD．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm解析：选D.振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1s＝2s，振幅A＝BO＝5cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20cm，所以两次全振动中通过的路程为40cm，3s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30cm.简谐运动的理解与应用1.图象的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中相对平衡位置的位移x，建立坐标系，如图甲所示．甲2．图象意义：反映了振动物体相对平衡位置的位移x随时间t变化的规律．3．位移：通常以平衡位置为位移起点．所以位移的方向总是背离平衡位置．如图甲所示，在x－t图象中，某时刻质点位置在t轴上方，表示位移为正(如图中t1、t2时刻)，某时刻质点位置在t轴下方，表示位移为负(如图中t3、t4时刻)．乙4．图象的用途(1)确定振动物体在任一时刻的位移．如图乙中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7cm，x2＝－5cm.(2)确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅，如图乙表示振动的振幅是10cm.(3)确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．由图乙可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2s，频率f＝1T＝5Hz.两个相邻的最大值之间是一个周期，如A、E之间的时间是一个周期．(4)确定各时刻质点的振动方向，例如在图乙中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．(5)比较不同时刻质点加速度的大小和方向．例如在图乙中t1时刻质点的位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1||x2|，所以|a1||a2|.(多选)弹簧振子做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是()A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向D．在0到5秒内，振子通过的路程为8cm[解析]由题图可知第5秒末时，振子处于正的最大位移处，此时有负方向的最大加速度，速度为零，故B、C正确，A错误；在0到5s内，振子先从平衡位置到正的最大位移，再经平衡位置到负的最大位移，最后从负的最大位移经平衡位置到正的最大位移整个过程路程为10cm，故D错误．[答案]BC典型问题——简谐运动的多解性1．周期性造成的多解问题：简谐运动是一种周期性的运动，其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化．因此，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．2．对称性造成的多解问题：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题．(多选)一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3s，第一次到达M点，再经过0.2s第二次到达M点，则弹簧振子的周期为()A．0.53sB．0.14sC．1.6sD．3s[思路点拨]振子通过O点的速度方向有两种可能，一种是从O指向M，另一种是背离M.再利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系．[解析]如图甲所示，O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为T4.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故T4＝0.3s＋0.2s2＝0.4s，解得T＝1.6s.如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向B运动，设M′与M关于O点对称，则振子从M′经B到M′所用的时间与振子从M经C到M所需时间相等，即0.2s．振子从O到M′和从M′到O及从O到M所需时间相等，为0.3s－0.2s3＝130s，故周期为T＝0.5＋130s＝1630s≈0.53s.[答案]AC求解这类问题，要认真分析题意，画出振子运动的过程示意图，防止漏解．也可画出物体的x－t图象，根据图象分析求解.一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则()A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T2的整数倍C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的加速度一定相等D．若Δt＝T2，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等解析：选C.本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图象进行分析．如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，故选项A是错误的；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，ΔtT2，故选项B是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C是正确的；相隔T2的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的．