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第1章机械振动本章优化总结机械振动自由振动简谐运动（无阻尼振动）受力特征：回复力F＝－kx基本模型弹簧振子单摆：θ≤5°描述公式：x＝Asin（ωt＋φ）概念：振幅、周期和频率单摆周期：T＝2πlgx－t图象：正弦（或余弦）曲线机械能：动能和势能之和阻尼振动特征：振幅不断减小原因：机械能逐渐转化为其他形式的能受迫振动定义：在周期性外力作用下产生的振动特征f＝f驱，跟f固无关f驱与f固相差越小，振幅A越大共振：f驱＝f固时，振幅A最大简谐运动的周期性、对称性和多解性1．周期性：做简谐运动的物体，每隔一段时间总重复前面的运动，也就是说其运动具有周期性，不同的简谐运动，其周期一般是不同的．2．对称性(1)空间的对称性：经过平衡位置两侧的对称点(如图中的C、B点)时位移的大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向有时相同，有时相反．(2)时间的对称性：不论是从对称点回到平衡位置，还是从平衡位置运动到对称点，所用时间都相等．(3)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．(4)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．3．简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，在运动方向上是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同．它是一个周期性的运动，若运动的时间与周期存在整数倍的关系，则质点运动的路程就会是唯一的；若运动时间为周期的一半，运动的路程也具有唯一性．若不具备以上条件，质点运动的路程会是多解的，这是必须要注意的．一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，它离开O点后经过3s时间第一次经过M点，再经过2s第二次经过M点，该质点再经过________s第三次经过M点．若该质点由O点出发，在20s内经过的路程是20cm，则质点做简谐运动的振幅为________cm.[解析]根据简谐运动的周期性和对称性分析解决问题．作出该质点的振动图象如图所示，则M点的可能位置有两个，即对应图中的M1或M2.第一种情况：若是位置M1，由图可知T14＝3s＋1s＝4s，T1＝16s，根据简谐运动的周期性，质点第三次经过M点时所需时间为一个周期减从第一次经过M点到第二次经过M点的时间，故Δt1＝16s－2s＝14s．质点在20s内即n＝2016＝54个周期内的路程为20cm，故由5A1＝20cm，得振幅A1＝4cm.第二种情况：若是位置M2，由图可知3T24＝3s＋1s＝4s，T2＝163s．根据对称性，质点第三次经过M点时所需时间为一个周期减从第一次经过M点到第二次经过M点的时间，故Δt2＝163s－2s＝103s.质点在20s内即n＝20163＝154个周期内的路程为20cm.故由15A2＝20cm，得振幅A2＝43cm.[答案]14或1034或43由于简谐运动的对称性和周期性造成问题多解需多向思维，画出运动示意图可以帮助全面思考，以免漏解.简谐运动的图象1．确定振动物体在任一时刻的位移．如图所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋5cm，x2＝－5cm.2．确定振动的振幅．图象中最大位移的值就是振幅，如图所示，振动的振幅是10cm.3．确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2s，频率f＝1T＝5Hz.4．确定各质点的振动方向．图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．5．比较各时刻质点加速度的大小和方向．在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，加速度a2为正，又因为|x1|＝|x2|，所以|a1|＝|a2|.(多选)如图是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移－时间图象，则振动系统在()A．t1和t3时刻具有相同的动能和速度B．t3和t5时刻具有相同的势能和速度C．t1和t5时刻具有相同的加速度D．t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1[解析]由题图知，t1和t3时刻质点的位置相同，但运动方向不同，所以具有相同的动能，而速度是矢量，方向不同，故A错误；t3和t5时刻的位置相对于平衡位置对称，所以势能是相同的，位移虽然不同，但具有相同的速度，故B正确；t1和t5时刻相差半个周期，处于相对于平衡位置对称的两个位置，由a＝－kxm知加速度大小相同而方向相反，故C错误；由回复力的公式：F＝－kx，知t2和t5时刻位移大小分别是6cm和3cm，则振子所受回复力大小之比为2∶1，故D正确．[答案]BD在振动图象中以位移这个矢量及位移的变化来分析一系列的物理量，当位移大小相等时，回复力大小、加速度大小、速率、动能、势能都相等，当位移变大时，加速度、回复力、势能三量变大，速率、动能则变小；方向上，位移为正时，加速度、回复力两量都为负，速度方向则不一定，速度的方向可根据位移的具体矢量的变化去判定，也可用斜率的正负去判定.简谐运动中等效分析法的应用在解决某些实际物理问题时，由于研究的问题比较复杂，有时甚至求解起来十分困难，这时可以在保证研究对象的有关数据不变的前提下，用一个简单模型把原来复杂的问题简单明了化，这就是等效分析法，这一方法对我们来说非常实用，因此，我们应注意这一方法的体会与应用．光滑斜面倾角为θ，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为L，求单摆的振动周期．[思路点拨]小球在与斜面垂直的平面内摆动，等效重力加速度实际上是重力加速度垂直斜面方向的分量．[解析]单摆处于失重状态，当单摆与小车相对静止加速下滑时，悬线拉力为F＝mgcosθ，故单摆做简谐运动时的等效加速度g′＝gcosθ，如图所示．故振动周期T＝2πLgcosθ.[答案]2πLgcosθ