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第一章静电场6电势差与电场强度的关系[学习目标]1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB＝Ed，能够推导出这个关系式。(重点)2.知道电场强度的另一种关系，了解场强的另一个单位“伏特每米”的意义。3.会用关系式UAB＝Ed或E＝UABd进行有关的计算。(难点)自主预习探新知一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．关系式：UAB＝或E＝。2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于与这两点的乘积。3．适用条件：电场。UABdEd匀强沿电场方向的距离电场强度二、公式E＝UABd的意义1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的_______与这两点的比值。2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿________方向每单位距离上降低的。3．电场强度的另一个单位：由E＝UABd可导出电场强度的另一个单位，即，符号为。1＝1N/C。电势差沿电场方向的距离匀强电场电势伏特每米V/mV/m1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由公式E＝Ud可知，电场强度与电势差U成正比。()(2)电场线的方向就是电势逐渐降落的方向。()(3)E＝Fq与E＝kQr2中的q和Q表示相同的含义。()×××(4)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等。()(5)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积。()××2．关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是()A．电场强度越大，则任意两点间的电势差也越大B．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等D．场强与电势处处相同C[U＝Ed中的d指两点所在等势面的距离，选项A、B、D错误，C正确。]3．如图所示的匀强电场场强为1.0×103N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4cm，ac＝bd＝3cm。则下述计算结果正确的是()A．a、b之间的电势差为40VB．a、c之间的电势差为50VC．将q＝－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25JD．将q＝－5×10－3C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25JA[由UAB＝Ed得Uab＝1.0×103×0.04V＝40V，A项正确。因为a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B项错误。将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做的功为0，C项错误。Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40J＝－0.2J，D项错误。]合作探究攻重难对关系式U＝Ed和E＝U/d的理解1.关系式表明了电场强度与电势差的关系大小关系由E＝Ud可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势方向关系电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向物理意义电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢2.在非匀强电场中，公式E＝Ud可用来定性分析问题，由E＝Ud可以得出结论：在等差等势面越密的地方场强就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故UabUbc。【例1】如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)a、b两点的电势差Uab；(2)匀强电场的场强大小和方向。思路点拨：(1)电场力对电荷做功一定时，初、末位置的电势差一定，其数值可由U＝Wq求解。(2)匀强电场的场强可由公式E＝Ud求解。[解析](1)因为正电荷从a到b和从a到c，电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知场强方向与ac平行，垂直指向bC。Uab＝Wabq＝3.0×10－85.0×10－10V＝60V。(2)由U＝Ed可得E＝Ud＝Uabab·cos37°＝600.2×0.8V/m＝375V/m场强方向平行于ac，且由a指向C。[答案](1)60V(2)375V/m方向与bc边垂直且由a指向c计算电场强度应注意的问题(1)在选取场强公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。(2)应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿场强方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿场强方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿场强方向上的距离。训练角度1：应用E＝Ud定性分析1．如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定()A．φaφbφcB．EaEbEcC．φa－φb＝φb－φcD．Ea＝Eb＝EcA[只给出一条电场线无法判断电场线的疏密，故无法判断a、b、c三点电场强度的大小；沿电场线方向电势降低，故φa＞φb＞φc，选项A正确。]训练角度2：应用E＝Ud定量计算2．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为Lm，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5V，φB＝－5V，φC＝15V，由此可以判断()A．场强的方向由C指向BB．场强的方向垂直AD连线斜向上C．场强的大小为10LV/mD．场强的大小为2033LV/mD[D为BC的中点，则φD＝5V，AD连线为一等势线，场强的方向垂直AD连线斜向下，选项A、B错误；由B到AD的距离d＝Lcos30°m＝32Lm，则电场强度E＝UDBd＝2033LV/m，选项C错误，选项D正确。]对电场强度的进一步理解1.关于场强E的几个表达式公式适用范围说明E＝Fq任何电场定义式，q为试探电荷的电荷量E＝kQr2真空中点电荷形成的电场Q为场源电荷的电荷量，E表示跟点电荷相距r处的某点的场强E＝Ud匀强电场U为沿电场线方向上相距为d的两点间的电势差2.关于电场强度与电势的理解(1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点。(2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面。【例2】有两块平行金属板A、B相隔6cm，接在36V的直流电源上。电源的正极接地，C点在两板间且到A板的距离为2cm。(1)求A、B两板间的场强大小和方向；(2)以地面为电势的零点，问C点的电势多高？思路点拨：(1)A、B两板间的电场为匀强电场。(2)电场中某点的电势等于该点与零电势点间的电势差。[解析](1)板间场强的大小E＝UABdAB＝366×10－2V/m＝6×102V/m，场强方向由A板垂直指向B板。(2)UAC＝EdAC＝6×102×2×10－2V＝12V由UAC＝φA－φC，得φC＝φA－UAC＝0－12V＝－12V。[答案](1)6×102V/m，方向由A板垂直指向B板(2)－12V上例中，若改为B板接地，其他条件不变，则C点电势多高？若C点放一电子，则电子的电势能多大？提示：UCB＝EdBC＝6×102×4×10－2V＝24V则φ′C＝UCB＋φB＝24VEpC＝－eφC′＝－24eV。3．如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5cm，电势差为25V，在电场中P点固定放置电荷量为5×10－9C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的()A．上方30cmB．下方30cmC．上方25cmD．下方25cmB[匀强电场的场强E＝Ud＝250.05V/m＝500V/m，设距P点L处的合场强为零，则kQL2＝9×109×5×10－9L2V/m＝500V/m，故L＝0.3m，负点电荷在距P点L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确。]等分法计算匀强电场中的电势1.在匀强电场中，沿任意一个方向上，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的1/n倍，像这样采用等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。2．在已知电场中几点的电势时，如果要求其他点的电势，一般采用“等分法”在电场中找与待求点电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。3．在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点电势差相等，用这一点可求解电势。【例3】如图所示的方框中有一匀强电场，A、B、C三点为电场中的三点，电势分别为φA＝24V，φB＝12V，φC＝－24V，试用作图法作出该电场的电场线。[解析]在图示的匀强电场中，沿AB方向和AC方向电势都是均匀降低的，φA＝24V，φC＝－24V，则AC连线的中点O的电势必为零，而AO的中心点O′的电势一定等于12V，即O′和B在同一等势面上，连接BO′即为该匀强电场中的一条等势线，根据电场线与等势面垂直可画出电场的电场线，如图所示，作图步骤如下：①连接AC，并作出AC的中点O；②再作出AO的中点O′；③连接O′B；④过A点作直线O′B的垂线AD，电场E的方向由A→D。[答案]见解析图画匀强电场中的等势面或电场线的技巧(1)掌握匀强电场中的两条规律①在匀强电场中，沿任一方向上距离相等的两点间的电势差都相等。②在匀强电场中，相互平行、长度相等的线段两端电势差相等。(2)掌握解题方法，具体如下在已知匀强电场中几点的电势时，如果要求电场中某点的电势(或画等势面或画电场线)可先找出电势差最大的两点，然后将两点连线，再采用“等分法”在电场中找到与待求点电势相等的等势点，从而画出等势线，最后利用电场线与等势线垂直的特点画出电场线，由电势的高低判断场强的方向。4．如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为()A．200V/mB．2003V/mC．100V/mD．1003V/mA[因为φO＝0，φA＝6V，由匀强电场的特点知OA的中点C处电势φC＝3V，可连接B与C作等势线，过O点作BC的垂线交BC于D点，如图所示，由几何关系得OD＝1.5cm，E＝UDOOD＝UCOOD＝200V/m，A正确。]课堂小结知识脉络1.对E＝Ud公式的理解与应用。2.对场强的进一步理解。3.匀强电场中场强与电势差的关系。当堂达标固双基1．对公式E＝UABd的理解，下列说法正确的是()A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大C．公式中d是指A点和B点之间的距离D．公式中的d是匀强电场中A、B两点所在等势面间的距离D[公式E＝UABd只适用于匀强电场，A错误；公式中的d是A、B两点所在等势面间的距离，A点和B点之间的距离大，等势面之间的距离不一定大，故B、C错误，D正确。]2．如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50V，φb＝－20V，则a、b连线的中点c的电势φc应为()A．φc＝－35VB．φc－35VC．φc－35VD．无法判断B[由图可知这是一个非匀强电场，且EaEcEb，即从b到a场强越来越大，则Ubc＝Ebc·d，Uca＝Eca·d，其中Ebc、Eca分别为bc段和ca段的平均场强，且EbcEca，故UbcUca，即φb－φcφc－φa，得φc－35V，B正确。]3．如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100V/m，则O、P两点间的电势差可表示为()A．UOP＝－10sinθVB．UOP＝10sinθVC．UOP＝－10cosθVD．UOP＝10cosθVA[沿着电场线的