2019-2020学年高中数学 专题训练1课件 北师大版必修5

第1页专题训练(一)第2页1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是()A．9900B．9902C．9904D．11000第3页答案B解析a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2·99·（99＋1）2＋2＝9902.第4页2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an1＋2an，则这个数列的第n项an为()A．2n－1B．2n＋1C.12n－1D.12n＋1第5页答案C解析∵an＋1＝an1＋2an，∴1an＋1＝1an＋2.∴1an为等差数列，公差为2，首项1a1＝1.∴1an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.∴an＝12n－1.第6页3．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：第1行1第2行23第3行4567…………则第8行中的第5个数是()A．68B．132C．133D．260第7页答案B解析前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.第8页4．(2015年河南禹州高二期中测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an等于()A．nB．2nC．2n＋1D．n＋1第9页答案B解析当n＝1时，a1＝S1＝2，排除A，C；当n＝2时，a2＝S2－S1＝6－2＝4，排除D，故选B.第10页5．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(Sn，Sn－1)在直线x－y－2＝0上，则数列{an}的通项公式为__________．答案an＝4n－2第11页6．数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n，(n∈N*)，则bn＝__________．答案（－1）n3·2n－1第12页7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝n＋1nan，则数列{an}的通项公式an＝________．第13页答案n解析an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝nn－1·n－1n－2·…·32·21＝n.第14页8．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________．第15页答案2×3n－1－1解析设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A.又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2.则A＝1.∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝3.∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.第16页9．(2013·新课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________．第17页答案(－2)n－1解析∵Sn＝23an＋13，①∴当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13.②①－②，得an＝23an－23an－1，即anan－1＝－2.∵a1＝S1＝23a1＋13，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列．∴an＝(－2)n－1.第18页10．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．第19页解析(1)由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．第20页(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是an＋12n＋1－an2n＝34，因此数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列．an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14.所以an＝(3n－1)·2n－2.第21页11．已知数列{an}中，a1＝1，an＝2S2n2Sn－1(n≥2)．(1)求证：数列{1Sn}是等差数列；(2)求通项公式an.第22页解析(1)∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn－Sn－1＝2S2n2Sn－1(n≥2)．将上述式子变形，得1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．又∵a1＝S1＝1，∴1S1＝1.∴数列{1Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列．第23页(2)由(1)知1Sn＝1S1＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝12n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－1－12n－3＝2（2n－1）（3－2n）.第24页∴数列的通项公式为an＝12（2n－1）（3－2n）（n＝1），（n≥2）.第25页12．(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.第26页解析(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以an＋1bn＋1－anbn＝2，即cn＋1－cn＝2.所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.第27页(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1.于是数列{an}的前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.第28页自助餐第29页例已知数列{an}满足关系a1＝3，且an＋1＝12an－3，求an.第30页【解析】方法一：(归纳法)∵a1＝3，an＋1＝12an－3，∴a2＝12a1－3＝32－3；a3＝12a2－3＝322－32－3；a4＝12a3－3＝323－322－32－3；…第31页猜想：an＝32n－1－32n－2－32n－3－…－32－3＝32n－1－312n－2＋12n－3＋…＋12＋1＝32n－1－3×1·1－12n－11－12＝12n－1(3＋6)－6.第32页方法二：(迭代法)由an＋1＝12an－3，得an＝12an－1－3，…∴an＋1＝12an－3＝1212an－1－3－3＝122an－1－32－3＝12212an－2－3－32－3＝123an－2－322－32－3＝…第33页＝12na1－32n－1－32n－2－…－32－3＝32n－32n－1＋32n－2＋…＋32＋3＝12n(3＋6)－6.∴an＝12n－1(3＋6)－6.第34页方法三：(构造法)∵an＋1＝12an－3，①∴an＝12an－1－3.②①－②得an＋1－an＝12(an－an－1)．∴{an＋1－an}是以a2－a1＝12a1－3－a1＝－12a1－3＝－32－3为首项，公比为q＝12的等比数列．第35页∴an＋1－an＝－32－3·12n－1.∴an－an－1＝－32－3·12n－2.∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝3＋－32－31＋12＋122＋…＋12n－2＝3＋－32－3·1－12n－11－12＝12n－1(3＋6)－6(n∈N*)．第36页方法四：由an＋1＝12an－3，把此式两边同加上6，得an＋1＋6＝12(an＋6)可见数列{an＋6}是首项为a1＋6＝3＋6，公比为12的等比数列．∴an＋6＝(3＋6)12n－1.∴an＝12n－1(3＋6)－6.第37页【说明】以上我们探讨了此类问题的四种解法，每种解法都以等比数列为基础，采用不同的思维方法使问题得以解决，建议重点掌握方法四！第38页