2019-2020学年高中数学 复习课（二）平面解析几何初步课件 苏教版必修2

复习课(二)平面解析几何初步两直线的位置关系[考点精要]1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tanα.(2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝y2－y1x2－x1.2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2.(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l1∥l2.3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2.(2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2.[典例]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②解①②组成的方程组得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即ab＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝－(－b)．④由③④联立，解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.[类题通法]已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(1)对于l1∥l2的问题，先由A1B2－A2B1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l1⊥l2的问题，由A1A2＋B1B2＝0解出字母的值即可．[题组训练]1．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为()A．－3B．－43C．2D．3解析：由2a－6＝0得a＝3.故选D.答案：D2．已知直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为()A．32B．32或0C．0D．－2解析：当a＝0时，两直线的方程化为x＝1和x＝1，显然重合，不符合题意；当a≠0时，a－11＝a2a，解得a＝32.故选A.答案：A直线方程[考点精要]1．直线方程的五种形式名称方程常数的几何意义适用条件一般情况y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴点斜式斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴名称方程常数的几何意义适用条件一般情况y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴两点式截距式xa＋yb＝1a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0A，B，C为系数任何情况2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.[典例]过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若BC＝2AB，求直线l的方程．[解]当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，∴B(3,0)，C(3,6)．此时BC＝6，AB＝1，BC≠2AB，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，显然k≠0且k≠2.令y＝0，得x＝3＋1k，∴B3＋1k，0，由y＝2x，y＋1＝kx－3，得点C的横坐标xC＝3k＋1k－2.∵BC＝2AB，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|，∴3k＋1k－2－1k－3＝21k，∴3k＋1k－2－1k－3＝2k或3k＋1k－2－1k－3＝－2k，解得k＝－32或k＝14.∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.[类题通法]求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．[题组训练]1．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d1＝|m＋1|13，d2＝|m＋13|13，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.2．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵kPP′·kl＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×x′＋x2－y′＋y2＋3＝0.②由①②得x′＝－4x＋3y－95，③y′＝3x＋4y＋35.④(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－4x＋3y－95－3x＋4y＋35－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.圆的方程[考点精要](1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C2；②过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ为参数，λ∈R)．[典例]在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；(2)求圆M的方程．[解](1)法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．又A(－3,0)，所以直线AD的方程为y－0－2－0＝x＋31＋3，即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.法二：由题意，得AB＝AC＝5，则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.因为直线BC的斜率kBC＝2，所以直线AD的斜率kAD＝－12，由直线的点斜式方程，得y－0＝－12(x＋3)，所以直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，得9－3D＋F＝0，4＋2D＋F＝0，16－4E＋F＝0，解得D＝1，E＝52，F＝－6.所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋52y－6＝0.[类题通法]利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值．[题组训练]1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：B2．已知圆C经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求圆C的方程．解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意，得2－a2＋－3－b2＝r2，－2－a2＋－5－b2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10.所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.3．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．解：联立两圆的方程得方程组x2＋y2－12x－2y－13＝0，x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.再由4x＋3y－2＝0，x2＋y2－12x－2y－13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为125＋12＋－6－22＝5.∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若dr，则直线和圆相离．[考点精要](2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ0⇔直线与圆相交；Δ0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；②当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．(2)利用圆的弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2(其中x1，x2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半l2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2r2－d2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．(2)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．[典例](1)直线x＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B两点，则AB＝()A．22B．32C．3D．2(2)若直线x－my＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则m的值为()A．1B．±1C．±3D．3[解析](1)∵圆心(1