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第1页2．4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化第2页知识探究第3页曲线的极坐标与直角坐标的互化公式(1)将点M的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的关系式错误！代入曲线的极坐标方程得到曲线的直角坐标方程．(2)将点M的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的关系式错误！代入曲线的直角坐标方程得到曲线的极坐标方程．第4页曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应用(1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化．(2)较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化．(3)极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程，然后再分析形状.第5页课时学案第6页题型一直角坐标方程化为极坐标方程例1将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程．(1)直线x＋y＝0；(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．【解析】(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y＝0，得ρcosθ＋ρsinθ＝0，∴ρ(cosθ＋sinθ)＝0，∴tanθ＝－1.∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．[或θ＝34π(ρ∈R)]第7页综上所述，直线x＋y＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)[或θ＝34π(θ∈R)]．(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0.即ρ(ρ＋2acosθ)＝0，∴ρ＝－2acosθ.所以圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.第8页探究1化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0的过程，本质是实数方程向距离与三角的制约方程的转化过程，其中，体现了思维方向的发散性特征，化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程为ρ＝5.第9页思考题1将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线y＝3x(x≥0)；(2)圆x2＋y2＝r2(r0)．第10页【解析】(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝3x，得ρsinθ＝3ρcosθ，∴tanθ＝3.∴θ＝π3或θ＝4π3，又∵ρcosθ≥0，∴这是过极点且倾斜角为π3的射线的极坐标方程．∴射线y＝3x(x≥0)的极坐标方程为θ＝π3(ρ≥0)．第11页(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r0)．∵ρ≥0，∴ρ＝r为所求．第12页题型二极坐标方程化为直角坐标方程例2将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并画图．(1)ρ＝2cos(θ－π3)；(2)ρ＝2sin(θ－π3)；(3)ρ·cos(θ－π3)＝1；(4)ρ·sin(θ－π3)＝1.第13页【解析】(1)ρ＝cosθ＋3sinθ，∴ρ2＝ρcosθ＋3ρsinθ.∴直角坐标方程为x2＋y2＝x＋3y，即(x－12)2＋(y－32)2＝1.第14页由此题总结：圆ρ＝2cosθ绕极点逆时针旋转π3，即得圆ρ＝2cos(θ－π3)，圆心由(1，0)转到(1，π3)．(2)ρ＝sinθ－3cosθ，∴ρ2＝ρsinθ－3ρcosθ.∴直角坐标方程为：x2＋y2＝y－3x，即(x＋32)2＋(y－12)2＝1.第15页由此题总结：圆ρ＝2sinθ绕极点逆时针旋转π3，即得圆ρ＝2sin(θ－π3)，圆心由(1，π2)转到(1，56π)．(3)ρ(12cosθ＋32sinθ)＝1，∴12x＋32y＝1，即x＋3y－2＝0.第16页由此题总结：直线ρcosθ＝1绕极点逆时针旋转π3，即得直线ρcos(θ－π3)＝1，其中点(1，0)转到(1，π3)．(4)ρ(12sinθ－32cosθ)＝1，∴12y－32x＝1，即3x－y＋2＝0.第17页由此题总结：直线ρsinθ＝1绕极点逆时针旋转π3，即得直线ρsin(θ－π3)＝1，其中点(1，0)转到(1，56π)．第18页探究2通过本例总结由几种特殊曲线绕极点旋转θ角后所得的图形及方程．第19页思考题2将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)ρ＝2cos(θ＋π3)；(2)ρ＝2sin(θ＋π3)；(3)ρcos(θ＋π3)＝1；(4)ρsin(θ＋π3)＝1.第20页【答案】(1)(x－12)2＋(y＋32)2＝1，(2)(x－32)2＋(y－12)2＝1，(3)x－3y－2＝0，(4)3x＋y－2＝0第21页题型三极坐标方程的应用例3(2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1:x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．第22页【解析】(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.第23页(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，|MN|＝ρ1－ρ2＝2，因为C2的半径为1，则△C2MN的面积12×2×1×sin45°＝12.第24页探究3解决此类问题应先将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再在直角坐标系中研究相应问题．第25页思考题3在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．第26页【解析】由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝3x，联立x2＋y2＝4y，y＝3x，消去y，得x2＝3x，解得x＝3或x＝0，所以a＝3.【答案】3第27页课后巩固第28页1．把方程x＋3y＝0化为极坐标方程为()A．ρsin(θ＋π6)＝0B．ρcos(π6＋θ)＝0C．ρsin(π6－θ)＝0D．ρcos(π6－θ)＝0答案A解析把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入并化简得ρsin(θ＋π6)＝0，故选A.第29页2．极坐标方程ρsinθ＝4sin2θ表示的曲线为()A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一个圆D．一条直线和一个圆答案D解析ρsinθ＝4sin2θ，可化为ρsinθ＝8sinθcosθ，即sinθ＝0或ρ＝8cosθ，化为直角坐标方程为y＝0或x2＋y2－8x＝0.故选D.第30页3．将直角坐标方程x2＋y2＋2x＋2y＝0化为极坐标方程为()A．ρ＝－2cosθB．ρ＝－2sinθC．ρ＝－2(cosθ＋sinθ)D．ρ＝－2cos(θ＋π4)第31页答案C解析依题意得ρ2＋2ρcosθ＋2ρsinθ＝0，所以ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0或ρ＝0，又曲线ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0经过极点，所以ρ＝－2(cosθ＋sinθ)．故选C.第32页4．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．答案22第33页5．求下列各圆的圆心坐标和半径．(1)ρ＝cosθ＋3sinθ；(2)ρ2＋4ρsinθ＋1＝0；(3)ρ2－2ρ(cosθ＋3sinθ)＝5.第34页解析(1)圆心为(1，π3)，半径为1.(2)圆心为(2，32π)，半径为3.(3)圆心为(2，π3)，半径为3.第35页