搜索
第1页2．3直线和圆的极坐标方程第一课时直线的极坐标方程第2页知识探究第3页1.曲线与方程的关系第4页2．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，(1)平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0；(2)坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．第5页3．几种特殊位置的直线的极坐标方程(1)过极点且从极轴到直线的角是α是直线的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)．(2)过点A(a，0)(a0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是ρcosθ＝a．(3)过点A(a，π2)(a0)，且平行于极轴的直线的极坐标方程是ρsinθ＝a．第6页思考1极坐标系中，极坐标方程θ＝π3表示什么曲线？【提示】若ρ≥0，表示过原点，倾斜角为π3的射线；若ρ∈R，表示过原点，倾斜角为π3的直线．第7页4．直线极坐标方程的一般形式过点P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)．第8页思考2在极坐标系中，直线和它的极坐标方程是一一对应的吗？【提示】在极坐标系中，一个直线的极坐标方程只能与一条直线对应；但一条直线却可以和多个方程对应，例如极坐标方程θ＝π3(ρ∈R)与θ＝4π3(ρ∈R)与θ＝4π3(ρ∈R)表示同一条直线．第9页对极坐标方程和直角坐标方程的理解(1)求曲线C的极坐标方程和直角坐标方程的方法相同，都是求曲线C上任一点P(ρ，θ)或P(x，y)的坐标满足的等量关系．相同的曲线求其极坐标方程有时比求直角坐标方程更简单，如与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简便，这是因为在极坐标系下，圆上点的极坐标(ρ，θ)所满足的条件更容易表示，代数变换也更加直接．第10页(2)与求曲线C的直角坐标方程相同．求其极坐标方程时，建立的极坐标系不同，其极坐标方程也不同，甚至在同一坐标系下，曲线C的极坐标方程也可以有多个，如过极点且倾斜角为a的直线的方程为θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)，或θ＝α(ρ∈R)，或θ＝π＋α(ρ∈R).第11页课时学案第12页题型求直线的极坐标方程例1求过点A(2，π4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．【思路】画出图形构造一个三角形，通过解三角形列出等式．第13页【解析】方法一：如图所示，在直线l上任取一点M(ρ，θ)，在△OAM中，OA＝2，OM＝ρ，∠OAM＝π－π4(或π4)，∠OMA＝θ(或π－θ)．在△OAM中，由正弦定理得2sinθ＝ρsinπ4，第14页所以ρsinθ＝2，点A(2，π4)也满足此方程．因此过点A(2，π4)且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsinθ＝2.第15页方法二：如图所示，在直线l上任取一点M(ρ，θ)，过M作MH垂直极轴于H点．因为A点坐标为(2，π4)，所以|MH|＝2·sinπ4＝2.在直角三角形MHO中，|MH|＝|OM|sinθ，即ρsinθ＝2，点A(2，π4)也满足此方程．所以过点A(2，π4)且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsinθ＝2.第16页探究1在极坐标系中求曲线方程的步骤：(1)设M(ρ，θ)为曲线上的任意一点．(2)作出示意图，构造三角形．(3)解三角形，建立关于ρ，θ的等式．(4)化简整理．第17页思考题1(1)求过极点，斜率为1的直线的极坐标方程；(2)求过点A(2，π6)，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．第18页【解析】(1)θ＝π4(ρ≥0)和θ＝54π(ρ≥0)．(2)在直线l上任取一点M(ρ，θ)，如图，因为A(2，π6)，所以|OH|＝2cosπ6＝3.在Rt△OMH中，|OH|＝ρcosθ＝3，所以，所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝3.第19页例2在极坐标系中，直线l经过M(3，π2)且该直线与极轴的正方向所成角为π4，此直线l的极坐标方程为________．【思路】求直线的极坐标方程有两个思路，一是设P(ρ，θ)是直线上一点，构造三角形，在三角形中找变量ρ、θ之间的关系；二是转化为求直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程．第20页【解析】方法一：如图，设P(ρ，θ)是直线上一点，则在△OPM中，|OP|＝ρ，∠POM＝π2－θ或θ－π2，∠OPM＝θ－π4或5π4－θ，由正弦定理，有|OP|sin∠OMP＝|OM|sin∠OPM，第21页又sin(5π4－θ)＝sin[π＋(π4－θ)]＝sin(θ－π4)，∴直线l的极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝322.方法二：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则点M的直角坐标为(0，3)，过点M且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为y＝x＋3.第22页由直角坐标与极坐标的转化公式得x＝ρcosθ，y＝ρsinθ直线l的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＋3，即ρ(sinθ－cosθ)＝3，或写成ρsin(θ－π4)＝322.【答案】ρsin(θ－π4)＝322第23页探究2在极坐标系中，求直线的极坐标方程，可设P(ρ，θ)是直线上任意一点，构造含变量ρ、θ的三角形，利用正弦定理得到关于变量ρ、θ的极坐标方程，即为所求的直线的极坐标方程；或先求直线的直角坐标方程，再变换为极坐标方程．第24页思考题2在极坐标系中，求过点(2，π)且与极轴的倾斜角为π4的直线的极坐标方程．【解析】令A(2，π)，设直线上任意一点P(ρ，θ)，第25页在△OAP中，∠APO＝θ－π4，由正弦定理2sin（θ－π4）＝ρsinπ4，得ρsin(θ－π4)＝2.又因为点A(2，π)适合上式，故所求直线的极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝2.第26页课后巩固第27页1．下列极坐标方程表示直线的是()A．θ＝0，ρ∈RB．θ＝0，ρ≥0C．θ＝π2，ρ≥0D．θ＝－π2，ρ≥0答案A第28页2．过极点，倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为()A．θ＝－π3，ρ≥0B．θ＝π3，ρ≥0C．θ＝4π3，ρ≥0D．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0第29页答案D解析以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．因为两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．所以直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．选D.第30页3．已知点P的极坐标为(2，0)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()A．ρ＝2B．ρ＝2cosθC．ρ＝－2cosθD．ρ＝2cosθ第31页答案D解析根据直线的极坐标方程可得ρcosθ＝2.故选D.第32页4．在极坐系中，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝1，点A的极坐标为(2，π4)，则点A到直线l的距离为________．第33页答案22解析由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直线l的直角坐标方程为x＋y－1＝0，点A的直角坐标为(1，1)．由直角坐标系下点到直线的距离公式得，点A到直线l的距离d＝|1＋1－1|2＝22.第34页5．求过点A(1，0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．解析如图所示，设M(ρ，θ)为直线上除A以外的任意一点，则∠xAM＝π4，∠OAM＝3π4，∠OMA＝π4－θ，在△OAM中，由正弦定理得|OM|sin∠OAM＝|OA|sin∠OMA，第35页即ρsin3π4＝1sin（π4－θ），∴ρsin(π4－θ)＝22，ρ(sinπ4cosθ－cosπ4sinθ)＝22，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，第36页经检验点A(1，0)的极坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θπ4(ρ≥0)和5π4θ2π(ρ≥0)．第37页