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第1页§2极坐标系2．1极坐标系的概念第2页知识探究第3页1.极坐标系的概念(1)如图，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴；选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向．)这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．第4页(2)对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(3)当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．第5页2．平面内点的极坐标(1)为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ0时，点M(ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|＝|ρ|，这样点M的坐标就是(ρ，θ)，如图．第6页(2)平面内一点的极坐标可以有无数对．当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的．(3)建立极坐标系后，如果规定ρ0，0≤θ2π或－πθ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．第7页两种平面坐标系的区别与联系平面直角坐标系极坐标系外在形式原点，x轴，y轴极点，极轴定位方式横、纵坐标(x，y)距离、角(ρ，θ)点与坐标一一对应不一一对应本质两线相交定点圆与射线相交定点共同点平面坐标系第8页课时学案第9页题型一点与极坐标的对应关系例1(1)在极坐标系中，与(2，π3)所表示的点不同的是________．①(2，－5π3)；②(2，7π3)；③(2，5π3)；④(2，－11π3)．第10页【解析】在极坐标系中，极坐标(2，π3)与(2，π3＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，只有5π3的终边与π3＋2kπ(k∈Z)的终边不同，故选③.【答案】③第11页(2)点(－2，－π3)表示成极径ρ0，θ∈[0，2π)时，对应的坐标为________；表示成ρ0，θ∈[－2π，0)时对应的坐标为________．第12页【解析】点(－2，－π3)与点(2，－π3)关于极点对称，即点(－2，－π3)与点(2，2π3)是同一点，而与(2，23π＋2kπ)k∈Z表示的是同一点，只需将角23π＋2kπ变成相应要求的区间．【答案】(2，2π3)(2，－4π3)第13页(3)如图，在极坐标系中，已知A点的极坐标为(4，0)，写出图中B、C、D、E、F、G各点的极坐标．第14页【思路】由点的极坐标定义，确定点的极坐标，首先确定极径，再确定极角，即得点的极坐标．【解析】由题图，可得所求各点的极坐标分别为B(2，π4)，C(3，π2)，D(1，5π6)，E(3.4，π)，F(6，4π3)，G(5，5π3)．第15页探究1在极坐标系中，一般先按点与极点之间的距离求出极径，然后按极径所在射线的位置求出极角．第16页思考题1(1)写出图中A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标(ρ0，0≤θ2π)，最内层圆的半径为1，且各圆半径相差1.第17页【解析】对每个点我们先看它的极径，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A(7，π6)，B(4，3π4)，C(5，7π6)，D(6，7π4)，E(9，0)，F(3，π)，G(9，3π2)．第18页(2)已知点M(1，43π)，①若2π≤θ4π，则M点的极坐标为________．②若π≤θ3π，则M点的极坐标为________．③若－2π≤θ0，则M的极坐标为________．④若－π≤θπ，则M的极坐标为________．第19页【解析】由图，可得①M(1，103π)，②M(1，43π)，③M(1，－23π)，④M(1，－23π)．第20页题型二极坐标系中的对称问题例2设点A(2，π3)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定ρ0，－πθ≤π)．第21页【解析】如图所示，关于极轴的对称点为B(2，－π3)，关于直线l的对称点为C(2，23π)，关于极点O的对称点为D(2，－23π)．第22页探究2点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，关于直线l的对称点是(ρ，π－θ)，关于极点O的对称点是(ρ，π＋θ)．第23页思考题2设点M(1，43π)．(1)它关于极轴所在直线的对称点为________．(2)它关于极点的对称点为________．(3)它关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为________．【答案】(1)(1，23π)(2)(1，π3)(3)(1，－π3)第24页课后巩固第25页1．极坐标系中，与点(1，－2017π)相同的点是()A．(1，0)B．(0，1)C．(1，π)D．(π，1)答案C第26页2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)(ρ0)关于极轴的对称点坐标是()A．(ρ，θ＋π)B．(ρ，－θ)C．(ρ，－θ＋π)D．(ρ，2π＋θ)答案B第27页3．极坐标(1，2π3)对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析点的终边与极轴的夹角为2π3，故该点在第二象限．第28页4．在极坐标系中作出下列各点，并说明每组中各点的位置关系．(1)A(2，0)、B(2，π6)、C(2，π4)、D(2，π2)、E(2，32π)、F(2，54π)、G(2，116π)；(2)A(0，π4)、B(1，π4)、C(2，54π)、D(3，54π)、E(3，94π)．第29页解析(1)所有点都在以极点为圆心，半径为2的圆上．(2)所有点都在极轴的倾斜角为π4，且过极点的直线上．点评准确的作出点在极坐标系中的位置是判定这些点之间关系的基础．第30页5．填表：已知点的极坐标A(5，π6)B(2，－π3)C(－π，210°)D(－2，135°)关于极点对称点的极坐标A1()B1()C1()D1()关于极轴对称点的极坐标A2()B2()C2()D2()关于直线θ＝π2的对称点的极坐标A3()B3()C3()D3()第31页答案A1(5，76π)、B1(2，23π)、C1(π，210°)、D1(2，135°)；A2(5，－π6)、B2(2，π3)、C2(π，－30°)、D2(2，45°)；A3(5，56π)、B3(2，43π)、C3(π，150°)、D3(2，225°)第32页