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考点1归纳与类比归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是______．[解析]把等式理解为递推关系，由a1＝1得a2＝12，a3＝13，a4＝14，从而猜想：an＝1n.将条件变形为n(a2n＋1－a2n)＋a2n＋1＋an＋1an＝(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，∴(n＋1)an＋1＝nan，即{nan}是常数数列，∴nan＝(n－1)·an－1＝…＝1·a1＝1，∴an＝1n，从而猜想成立．[答案]an＝1n考点2综合法与分析法综合法是由已知到未知的逻辑推理方法，在我们已经储存了大量的知识，积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法，可以使我们从已知的知识中进一步获得新知识．分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法．在探求问题的证明时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时，较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”，在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分开．已知△ABC的三边a、b、c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．[证明]法一：(分析法)要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cosB0.又∵cosB＝a2＋c2－b22ac，∴只需证明a2＋c2－b20.∴即证a2＋c2b2.∵a2＋c2≥2ac，∴只需证明2acb2.由已知2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)，∴只需证明b(a＋c)b2，即证a＋cb成立，在△ABC中，最后一个不等式显然成立．∴B为锐角．法二：(综合法)由题意：2b＝1a＋1c＝a＋cac，则b＝2aca＋c，b(a＋c)＝2acb2(∵a＋cb)．∵cosB＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac0，又y＝cosx在(0，π)上单调递减，∴0Bπ2，即B为锐角．考点3反证法反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理最后推出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立．理论根据是互为逆否命题的两个命题是等价命题，即若p⇒q成立，则綈q⇒綈p成立，这里得出的矛盾可以是与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问题．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[证明]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则a、b、c同时为奇数或a、b同时为偶数，c为奇数．所以当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，所以an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾，所以f(x)＝0无整数根．考点4数学归纳法探索性问题是近几年高考中经常出现的一种题型，它的解决思路是观察、归纳、猜想、证明．而证明时往往用到数学归纳法，数学归纳法中的两个基本步骤缺一不可，它主要用来解决数列、不等式、几何、恒等式的证明问题，在证明过程中要学会利用同一题中已证明过的结论、学会添项、学会找过渡命题、学会分析转化、学会猜想．已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n1，n∈N＋)．求证：S2n1＋n2(n≥2，n∈N＋)．[证明](1)当n＝2时，S22＝1＋12＋13＋14＝25121＋22，即当n＝2时命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k1＋k2.则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋11＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋11＋k2＋2k2k＋2k＝1＋k2＋12＝1＋k＋12，故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，不等式S2n1＋n2都成立．