2019-2020学年高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法课件 北师大版选修2-2

一、反证法的定义1．在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者________，我们可以先假定命题结论的________成立，在这个前提下，若推出的结果与________相矛盾，或与命题中的________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明命题结论的反面________成立，由此断定命题的结论________．这种证明方法叫作________．2．反证法是一种________证明的方法．必居其一反面定义、公理、定理已知条件假定不可能成立反证法间接[自主梳理]二、反证法的证明步骤1．作出________的假设；2．进行推理，导出________；3．否定________，肯定________．否定结论矛盾假设结论[双基自测]1．命题“在△ABC中，若∠A∠B，则ab”的结论的否定应该是()A．abB．a≤bC．a＝bD．a≥b答案：B2．若a、b、c不全为零，必须且只需()A．abc≠0B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c中只有一个是0D．a、b、c中至少有一个不为0解析：a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.答案：D3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b成立B.3a＜3b成立C.3a＝3b或3a＜3b成立D.3a＝3b且3a＜3b成立答案：C探究一证明否定性命题[例1]求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.[证明]假设bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根相矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实数根相矛盾．综上所述，可知bc≠0.结论中出现“不”“不是”“不存在”“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理．此时用反证法更方便．1．设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，求证：数列{Sn}不是等比数列．证明：假设{Sn}为等比数列，则S22＝S1·S3，∴a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，与q≠0矛盾．∴{Sn}不是等比数列．探究二证明唯一性问题[例2]求证函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．[证明](1)存在性：因为2×－12＋1＝0，所以－12为函数f(x)＝2x＋1的零点．所以函数f(x)＝2x＋1至少存在一个零点．(2)唯一性：假设函数f(x)＝2x＋1除－12外还有零点x0x0≠－12，则f－12＝f(x0)＝0.即2×－12＋1＝2x0＋1，∴x0＝－12，这与x0≠－12矛盾．故假设不成立，即函数f(x)＝2x＋1除－12外没有零点．综上所述，函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．1．结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．2．“有且只有”的含义有两层①存在性：本题中只需找到函数f(x)＝2x＋1的一个零点即可．②唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性．2．用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行．[例3]已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.探究三证明“至少”“至多”等问题[证明]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c＞0.这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．3．已知x，y，z∈R，x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝12，求证：x，y，z∈[0，23]．证明：假设x，y，z中有负数，不妨设x0，则x20，则y＋z＝1－x，y2＋z2≥y＋z22，∴12＝x2＋y2＋z2≥x2＋y＋z22＝x2＋1－x22＝32x2－x＋12＝32x(x－23)＋12.∵x0，∴x－230.∴32x(x－23)0.∴12≥32x(x－23)＋1212，矛盾．∴x，y，z中没有负数．假设x，y，z中有一个大于23，不妨设x23，则12＝x2＋y2＋z2≥x2＋y＋z22＝x2＋1－x22＝32x2－x＋12＝32x(x－23)＋12.∵x23，∴x0.∴32x(x－23)0.∴12≥32x(x－23)＋1212，矛盾．∴x，y，z中没有大于23的．综上，x，y，z∈[0，23]．反证法在证明问题中的应用[例4](本题满分12分)已知：0＜α＜π2，0＜β＜π2，且sin(α＋β)＝2sinα，求证：α＜β.[证明](1)假设α＝β(α，β均为锐角)…………………………………………2分由sin(α＋β)＝2sinα得sinαcosβ＋cosαsinβ＝2sinα，所以2sinαcosα＝2sinα，所以cosα＝1，…………………………………………3分与α∈0，π2相矛盾，故α≠β.………………………………………………………5分(2)假设α＞β(α，β均为锐角)，由sinαcosβ＋cosαsinβ＝2sinβ得cosαsinβ＝sinα(2－cosβ)，即sinαsinβ＝cosα2－cosβ.……………………………………………………………………9分由π2＞α＞β＞0得sinα＞sinβ＞0，sinαsinβ＞1.…………………………………………………………………………………………10分又0＜cosα＜cosβ＜1，所以2－cosβ＞1，所以cosα2－cosβ＜1.故sinαsinβ＝cosα2－cosβ不成立，故α≤β.……………………………………………………11分因为α≠β且α≤β，所以α＜β.综上α＜β.……………………………………………………………………………12分[规范与警示]易漏掉两种情况的讨论，失分点．由此等式推导得出矛盾，关键点．易漏掉此结论，解析过程要完整．反证法的关键是找矛盾，所以应注意前后联系．在证明过程中步骤要完整，步步有理有据，说服力强，不能随意丢弃任何条件，特别是假设的否定不能忽略．