2019-2020学年高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比 1.1 归纳推理课件 北师大版选

[自主梳理]一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．三、归纳推理的特征归纳推理是由部分到_____，由个别到________的推理．合情演绎每一个事物整体一般[双基自测]1．数列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于()A．38B．39C．40D．41解析：前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40.答案：C2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为()A．nB．n＋1C．2nD．2n－1解析：由前三个集合子集的个数分别为21,22,23，可归纳得出{a1，a2，…，an}的子集个数为2n.答案：C3．在数列{an}中，已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为()A．3B．－3C．6D．－6解析：由题意可得，a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，归纳出每6项一个循环，则a33＝a3＝3.答案：A4．观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，…，则可归纳出________．解析：利用归纳推理，不等号的右边的分母与左边的最后一项的分母的算术平方根相同，而右边的分子的变化遵循规律2n＋1，n为正整数．答案：1＋122＋…＋1n＋122n＋1n＋1(n∈N＋)5．如图(1)，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)…试用n表示出第(n)个图形的边数an＝________.解析：观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an＝3×4n－1.答案：3×4n－1探究一数、式中的归纳推理[例1]已知：1＞12；1＋12＋13＞1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32；1＋12＋13＋…＋115＞2；….请你归纳出一个最贴切的一般性结论.[解析]1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n－1，而不等式右端依次分别为：12，22，32，42，…，n2.归纳得一般结论：1＋12＋13＋…＋12n－1＞n2(n∈N＋)．根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；(2)提炼出数、式的变化规律；(3)运用归纳推理写出一般结论．1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212探究二几何图形中的归纳推理[例2]有两种花色的正六边形地面砖．按下图的规律，拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36[解析]法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹正六边形围绕外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.图案123…个数61116…[答案]B图形的归纳推理问题，可从图形的变化规律入手求解，一般研究图形中点、线或面等的增加变化数值，结合数列的知识得出规律．2．(1)如图(a)(b)(c)(d)为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)；顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系；(3)现已知某个平面图形有1005个顶点，且围成了1005个区域，试根据以上关系确定这个图形有多少条边．解析：(1)填表如下：顶点数边数区域数(a)463(b)8125(c)694(d)10156(2)由该表可以看出，所给四个平面图形的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我们可以推断：任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数＋区域数－边数＝1.(3)由上面所给的关系，可知所求平面图形的边数．边数＝顶点数＋区域数－1＝1005＋1005－1＝2009.对归纳推理的特征掌握不准确致误[例3]对任意正整数n，猜想2n与n2的大小关系是________．[解析]当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52，当n＝6时，26＞62；所以可以猜想当n＝3时，2n＜n2；当n∈N＋且n≠3时，2n≥n2.[答案]当n＝3时，2n＜n2；当n∈N＋且n≠3时，2n≥n2.[错因与防范]本题易错解为n≥3时2n＜n2，错因是只列出了n＝1,2,3时的情况，列出的数据太少，没能得到准确的猜想．防范措施：在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形，对于特殊项要多验证几项，再作猜想，以掌握更多归纳特征，同时要根据变化规律和趋势作判断．