搜索
第一章统计§6统计活动：结婚年龄的变化§7相关性自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．通过对结婚年龄的数据收集、分析，了解统计的步骤和方法．2．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.1．统计活动的步骤(1)确定__________；(2)收集______；(3)______数据；(4)______数据；(5)作出推断．2．散点图在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将______所对应的点描出来，这些点就组成了______之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．调查对象数据整理分析变量变量3．曲线拟合从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个______的大致趋势，这种趋势通常可以用________________来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．集中一条光滑的曲线4．变量间的相关性(1)线性相关若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在__________附近波动，则称变量间是线性相关的．此时，我们可以用一条直线来近似．(2)非线性相关若所有点看上去都在__________(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的．此时，可以用一条曲线来拟合．(3)不相关如果所有的点在散点图中__________________，则称变量间是不相关的．一条直线某条曲线没有显示任何关系练一练：假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x/年23456维修费用y/万元2.23.85.56.57.0(1)作出散点图；(2)判断y与x是否线性相关．解：(1)作出散点图，如图所示．(2)由上图可看出y与x线性相关．1．相关关系与函数关系的异同点是什么？(1)相同点：两者均是指两个变量之间的关系．(2)不同点①函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．②函数关系是自变量与函数值之间的关系，这种关系是两个非随机变量之间的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量或随机变量与随机变量之间的关系．③函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，例如，有人发现，对于在校儿童，脚的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他的阅读能力会提高，而且由于长大，脚也变大．2．怎样判断两个变量相关关系？判断两个随机变量x和y是否存在相关关系，最有效的方法就是通过作散点图，观察它们的分布是否存在一定规律．此外，还可借助表格、关系式或经验来判断．典例精析规律总结课堂互动探究在下列各变量之间的关系中，具有相关关系的是________．①汽车的重量和百公里耗油量②正n边形的边数与内角度数之和③一块农田的小麦产量与施肥量④家庭的经济条件与学生的学习成绩⑤人的年龄与体重之间的关系⑥苹果的产量与气候关系【解析】①③⑤⑥是相关关系，②是函数关系，④两个变量之间没有关系．【答案】①③⑤⑥【规律总结】两个变量之间可能没有关系，也可能有某种确定的关系，即函数关系，两变量间的关系可能无确定性，即有相关关系．下列关系中，是相关关系的为()①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④解析：①学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；③④都不具备相关关系．答案：A下列两个变量之间的关系：①角度和它的余弦值；②人体内的脂肪含量与年龄；③家庭的收入与支出；④电价与某户家庭用电量间的关系．其中是相关关系的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由相关的概念可知②③④是相关关系，①是函数关系，故选C．答案：C下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量/kg15202530354045水稻产量/kg320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？【解】(1)散点图如图所示：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量之间具有正相关关系．当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，但水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增加．【规律总结】判断两个变量间的相关关系最重要的方法是画出散点图，观察点是否在某条直线或曲线附近，从而确定是线性相关关系或非线性相关关系．试从各散点图中点的分布状况，直观上判断两个量之间有线性相关关系的是()解析：在A中点的分布毫无规律，横轴、纵轴表示的两个量之间的相关程度很小；在B中所有的点严格地分布在一条直线上，横轴、纵轴表示的两个量之间有确定的关系——函数关系；在C中，点的分布基本上集中在一个带状区域内，横轴、纵轴表示的两个变量之间有线性相关关系；D中点的分布基本上集中在由某条曲线两侧组成的带状区域内，因此横轴、纵轴表示的两个变量也有相关关系，只是它是非线性相关关系．答案：C某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调整前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如表所示：景点ABCDE原价/元1010152025现价/元55152530日平均人数/103人11232(1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，日平均总收入持平，问风景区是怎样计算的？(2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？【解】(1)风景区是这样计算的：调整前的平均价格为10＋10＋15＋20＋255＝16(元)．调整后的平均价格为5＋5＋15＋25＋305＝16(元)．因为调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，所以日平均总收入不变．(2)游客是这样计算的，原日平均总收入：10×1000＋10×1000＋15×2000＋20×3000＋25×2000＝160000(元)．现在日平均总收入：5×1000＋5×1000＋15×2000＋25×3000＋30×2000＝175000(元)．日平均总收入增加了175000－160000160000≈9.4%.(3)游客的说法较能反映整体实际．【规律总结】对于收集的同一组数据，不同的人从不同的角度进行分析，也会得出不同的结果．我们对统计数据应科学、客观的分析，不可掺入个人情绪或部门利益．2003年11月，中国女排以11连胜的战绩夺回了阔别17年的世界冠军，重振了“敢于拼搏，敢于创新，团结起来，在不利的条件下赢得最大的胜利”的中国女排精神．其中11月12日的中美之战是关键的一战，中国女排在1∶2局数落后的不利情况下，顽强拼搏，最后反败为胜，以3∶2击败夺冠道路上的主要竞争对手．项目中国美国发球得分37一攻得分3735防守反击得分2925拦网得分1313因对方失误得分2722总得分109102(1)所给表是中美两国比赛的技术数据统计，学生甲用两幅直方图，比较中美两国比赛的得分情况，学生乙用一幅直方图(如图所示)比较中美两国比赛的得分情况，哪一个效果好？(2)从统计表中你能获取哪些信息？解：(1)学生甲的方案由于纵轴单位刻度不同，不容易对两国排球赛的得分情况进行比较；而学生乙将两张图合并成一张图，可以一目了然地看出两国排球赛的得分情况的差异，因此，乙的效果更好．(2)分析表中的数据我们可以大概地了解到，中国队战胜美国队的主要因素是失误较少，防守反击比较成功，而中国队发球的威力不大，这是需要提高的．下列语句表示的事件中的两个因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧D．吸烟有害健康【错解】选A或B或D【错因分析】对相关关系理解不准确．相关关系是一种不确定性的关系，但不是没关系．【正解】下大雪后，植物所需水分充足，利于其成长，一般会取得丰收．名师的教育教学水平比一般人要高，徒弟受其影响，一般情况水平也较高．鸟叫是一种自然现象，与人的旦夕祸福无关系．烟中的有害物质会对人体造成伤害，影响身体健康．【答案】C即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一相关关系的判断1．下列关系中，具有相关关系的是()①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．A．①②B．②③C．①④D．②④解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②水稻产量与施肥量之间不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，故②④有相关关系．答案：D2．下列说法正确的是()A．相关关系是函数关系B．函数关系是相关关系C．线性相关关系是一次函数关系D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系解析：函数关系与相关关系互不包含，所以A、B、C选项不正确；根据定义相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系，所以D选项正确．答案：D3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是()A．都可以分析两个变量的关系B．都可以用一条直线近似表示两者之间的关系C．都可以用确定的表达式表示两者之间的关系D．都可以作出散点图解析：两个变量之间可能存在确定的函数关系，也可能存在相关关系，也可能不相关，因此A、B、C均不正确，D正确．答案：D知识点二散点图4．下列分别是三对变量的散点图，则具有相关关系的是()A．①②③B．①③C．②③D．②解析：①③中的点比较集中在一个条形区域内，具有相关关系．答案：B5．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下：年龄(岁)123456身高(cm)788798108115120画出散点图，并判断它们是否具有相关关系．解：如图所示，由散点图可看出．在一定范围内，这个男孩的年龄与身高具有明显的相关关系，即该男孩身高随着年龄的增大而增高．