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第一章统计§2抽样方法2．2分层抽样与系统抽样自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解分层抽样与系统抽样的概念．2．会用分层抽样和系统抽样从总体中抽取样本.1．分层抽样将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照__________随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为__________．所占比例类型抽样练一练：(1)某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业抽取的学生个数为()A．30B．40C．50D．60解析：∵C专业的学生有1200－380－420＝400(名)，由分层抽样原理，应抽取120×4001200＝40(名)．答案：B2．系统抽样系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照______________抽取第一个样本，然后按____________(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫__________或__________．简单随机抽样分组的间隔等距抽样机械抽样练一练：(2)某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得的号码为()A．35B．36C．37D．38解析：由系统抽样可知第一组号码为2，第二组号码为7，第三组号码为12，以后每一组号码比上一组号码大5，故第八组号码为37，故选C．答案：C1．哪些抽样适用分层抽样？分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的，分成的各层互不交叉，各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，在分层抽样的过程中每个个体被抽到的可能性是相同的．2．使用系统抽样应注意什么？系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况，剔除多余的个体及第一段抽样都用简单随机抽样法，系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等．典例精析规律总结课堂互动探究某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施抽取的步骤．【解】用分层抽样方法抽取．具体实施抽取步骤如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2(人)，705＝14(人)，205＝4(人)．∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用先对其按00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．(3)将抽取的2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．【规律总结】分层抽样的一般步骤为：(1)将总体按适当的标准进行分层；(2)计算出抽样比例k＝样本容量总体容量；(3)按抽样比例确定每层需要抽取的个体数；(4)各层分别进行抽样(方法可以灵活选择)；(5)汇合成样本．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析：由题意知，从教师中抽取的人数为160－150＝10(人)，且样本为总体的1603200＝120，∴教师人数为10÷120＝200(人)．答案：200为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，拟从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？【解】第一步：将503名学生用随机方式编号为1,2，3，…，503；第二步：用抽签法或随机数表法剔除3个个体，这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1,2，3，…，500；第三步：确定分段间隔k，将总体分为50个部分，每一部分包括10个个体，这时，第1部分的个体编号为1,2，…，10；第2部分的个体编号为11,12，…，20；依此类推，第50部分的个体编号为491,492，…，500；第四步：在第1部分用简单随机抽样的方法确定起始的个体编号，例如选出5；第五步：依次在第2部分，第3部分，…，第50部分取出号码为15,25，…，495的个体，这样就得到一个容量为50的样本．【规律总结】解决系统抽样问题中两个关键步骤为：(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应采用随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便可随之确定了．下列抽样中不是系统抽样的是()A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C．搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止D．在报告厅对听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈解析：A、B、D是系统抽样，因为它们符合系统抽样的特征；而C不是系统抽样，因为事先不知道总体数，不能保证每个个体等可能入选．答案：C对下列的几个问题，请选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程．(1)30个电子元件，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个作为样本；(2)有甲厂生产的30个电子元件，其中一袋21个，另一袋9个，抽取3个作为样本；(3)有甲厂生产的300个电子元件，抽取10个作为样本；(4)有甲厂生产的300个电子元件，抽取30个作为样本．【解】(1)总体由差异明显的几个层次组成，需选用分层抽样法．第一步：确定抽取个数．因为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取21×13＝7(个)，乙厂生产的应抽取9×13＝3(个)；第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的电子元件7个，乙厂生产的电子元件3个．这些电子元件便组成了我们要抽取的样本．(2)总体容量较小，用抽签法．第一步：将30个电子元件编号为00,01，…，29；第二步：将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步：从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步：找出和所得号码对应的电子元件．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法．第一步：将300个电子元件用随机方式编号为001，002，…，300；第二步：在随机数表中随机确定一个数作为开始，如从第8行第29列的数“1”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；第三步：从数“1”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到162,074,111,163,024,042,196,125,292,019这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样法．第一步：将300个电子元件用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段；第二步：在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如002)作为起始号码；第三步：将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．【规律总结】当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法；当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样．为了考察某校的教学水平，现抽查这个学校高一年级部分学生的本学年考试成绩进行分析．为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该校高一年级共有20个班，并且所有学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察这20个学生的考试成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的考试成绩；③把该校高一年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知按成绩划分，该校高一学生中成绩优秀的学生有150名，良好的学生有600名，普通的学生有250名)．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中，各自采用何种抽样方法？(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高一年级全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高一年级每个学生本学年的考试成绩．其中第①种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第②种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第③种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.(2)上面三种抽取方式中，第①种方式采用的方法是简单随机抽样法；第②种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第③种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．(3)第①种方式抽样的步骤如下：第一步：首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班．第二步：然后在这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．第②种方式抽样的步骤如下：第一步：首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取一个学号为a的学生．第二步：在其余的19个班中，选取学号为a＋nk(n＝1，2，…，19，k为各班人数)的学生，共计19人．第三步：前两步所抽个体组成样本．第③种方式抽样的步骤如下：第一步：分层．因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次．第二步：确定各个层次抽样抽取的人数．因为样本容量与总体的个体数比为100∶1000＝1∶10，所以每个层次抽取的个体数依次为15010，60010，25010，即15,60,25.第三步：按层次分别抽取．在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．中央电视台动画城节目为了对本周的热心观众给予奖励，要从2014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2014人中，每个人被抽取的可能性()A．均不相等B．不全相等C．都相等，且为251007D．都相等，且为140【错解】D【错因分析】错解中利用剔除后的数据计算．由于每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到的机会都相等．【正解】C即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一分层抽样1．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为()A．7,5,8B．9,5,6C．7,5,9D．8,5,7解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：B2．从某地区15000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的情况如下表所示.则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为()A．60B．100C．1500D．2000解析：由题意得，生活不能自理的老人中男性比女性多23－21500×15000＝60(人)．答案：A知识点二系统抽样3．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质