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第一章数列§4数列在日常经济生活中的应用1．零存整取零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到约定日期后S＝．P(1＋nr)2．定期自动转存如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存．n年后，本利和为S＝．3．分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款金额为：．P(1＋r)nar（1＋r）m（1＋r）m－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和，若按单利计算，则S＝P(1＋r)n.()(2)“零存整取”到约定日期取出的本利和，是按复利计算的．()(3)本金3000元，每月复利一次，一年后得到本利和3380元，月利率是1%.()××√小蕾2017年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.98%，到2018年1月31日取款时，银行按国家规定扣除了利息税(税率为20%——利息税占利息的百分数)138.64元，则小蕾存入银行的本金约为()A．1万～2万B．2万～3万C．3万～4万D．4万～5万解析：选C.设本金为x元，由题意得(x·1.98%)·20%＝138.64⇒x≈3.5(万元)．按活期存入银行1000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是()A．1036元B．1028元C．1043元D．1026元解析：选A.第五年末的本利和是1000＋1000×0.72%×5＝1000＋36＝1036.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2013年产生的垃圾量为at，由此预测，该区2014年的垃圾量为________t，2018年的垃圾量为________t.解析：由于2013年的垃圾量为at，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b)t，同理可知2015年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2018年的垃圾量为a(1＋b)5t.答案：a(1＋b)a(1＋b)5解读数列建模(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的倍数时，该模型是等比模型，其一般形式是：an＋1－anan×100%＝q(常数)．(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题、树木的生长与砍伐问题等．(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．利用等差数列模型解题李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年．(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰.问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税)【解】(1)100×36＋100×2.7‰×（36＋1）×362＝3779.82(元)．(2)100×36＋100×1.725‰×（36＋1）×362×(1－20%)＝3691.908≈3691.91(元)．3779.82－3691.91＝87.91(元)．即“教育储蓄”一次支取本息3779.82元，比“零存整取”多收益87.91元．此类问题在计算利息时，每次存入的钱不计复利，即对应等差数列模型．1.(1)某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是()A．5(1＋2＋3＋…＋12)元B．5(1＋2＋3＋…＋11)元C．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元D．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元(2)有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？解：(1)选A.存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A.(2)设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数n成等差数列，设该数列为{an}，an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18，当购买台数小于18时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于或等于18时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元，作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，所以，当n10时，600n(800－20n)n；当n＝10时，600n＝(800－20n)n；当10n18时，(800－20n)n600n；当n≥18时，440n≤600n.所以当购买台数少于10台时，购买到乙商场花费较少；当购买10台时，到两商场购买花费相同；当购买多于10台时，到甲商场购买花费较少．利用等比数列模型解题某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买一辆10万元的轿车在1年内将款全部付清的前提下，可分3次付清，购买4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款，规定分期付款中，每期付款额相同，月利率为0.8%，每月利息按复利计算，即指上月利息要记入下月本金，问付款总额是多少？【解】设每次付款额为x1万元，第一次付款的本利和为1.0088x1万元，第二次付款的本利和为1.0084x1万元，第三次付款的本金为x1万元(第三次付款不产生利息)，则1.0088x1＋1.0084x1＋x1＝10×1.00812，所以x1·（1.0084）3－11.0084－1＝10×1.00812，所以x1＝10×1.00812×（1.0084－1）1.00812－1≈3.552(万元)．付款总额为3×3.552≈10.66万元．在本例中，若分12次付清，其他条件不变，付款总额又是多少？解：设每次付款额为x2万元，那么一年后，第一次付款的本利和为1.00811x2万元，第二次付款的本利和为1.00810x2万元，…，第12次付款的本金为x2万元．则1.00811x2＋…＋1.008x2＋x2＝10×1.00812，所以x2·1.00812－11.008－1＝10×1.00812，所以x2＝10×1.00812×0.0081.00812－1≈0.8773(万元)．付款总额为12×0.8773≈10.53(万元)．分期付款中的有关计算关键在于：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值(注：最后一次付款没有利息)．(2)明确各期所付的款额连同最后一次付款时所产生的利息之和，等于贷款额与到最后一次付款时，贷款额所产生的利息的和．2.(1)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．(2)职工小张年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还款多少元？(结果保留整数，1.110≈2.594)解：(1)每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝2（1－2n）1－2＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64，27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.故填6.(2)法一：若某人向银行贷款M0元，年利率为α·100%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，并从借款后次年年初开始每次a元等额归还，第N次全部还清．那么一年后欠款数为M1＝(1＋α)M0－a，两年后欠款数为M2＝(1＋α)M1－a＝(1＋α)·[(1＋α)M0－a]－a＝(1＋α)2M0－a[(1＋α)＋1]，N年后欠款数为MN＝(1＋α)MN－1－a＝(1＋α)NM0－a[(1＋α)N－1＋(1＋α)N－2＋…＋(1＋α)＋1]．因为MN＝0，所以(1＋α)NM0＝a[（1＋α）N－1]α，故a＝α（1＋α）NM0（1＋α）N－1.这就是每期归还金额与贷款数额、贷款利率、归还年限之间的关系式．对于上述购房问题，将α＝0.1，M0＝200000，N＝10代入，得a＝200000×0.1×1.1101.110－1≈32547(元)，故每年应还款32547元．法二：设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清．第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为x(1＋10%)元．第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为x(1＋10%)2元．…第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为x(1＋10%)9元．根据题意可得x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝200000×(1＋10%)10，所以x＝200000×1.110×0.11.110－1≈32547(元)．即每年应还款32547元．等差与等比数列综合解决实际问题某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种纯获利更多？(取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665)【解】(1)甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－10.3≈42.62(万元)．银行贷款本息：10×(1＋5%)10≈16.29(万元)，故甲方案纯获利：42.62－16.29＝26.33(万元)．(2)乙方案获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10×1＋10×92×0.5＝32.50(万元)，银行本息和：1.05×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)9]＝1.05×1.0510－10.05≈13.21(万元)．故乙方案纯获利：32.50－13.21＝19.29(万元)．综上，甲方案纯获利更多．解决与数列有关的实际应用题时，一定要理清各个量之间的关系，正确地将实际问题转化为数学模型，在数列求和时，首先要分清是何种数列，然后再利用相应公式求和．3.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．解：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4500－52d，所以an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d.(2)由(1)得，